diagonalisation

[lémathdabor]

Bonsoir ;



la question , c'est :

Trouver une matrice inversible telle que la matrice ait un nombre minimal de coefficients non nuls

je trouve pour polynôme caractéristique :


que faire aprés .....

Merci
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[Scorp]

En gros, tu as deux solutions :
- soit la matrice est diagonalisable : il te suffit alors de trouver les valeurs propres et vecteurs propres associés

- soit elle est trigonalisable : Dans ce cas, ca peut être un peu plus compliqué. Je te conseil d'aller voir la jordanisation des matrices pour ca (ca permet justement de maximiser le nombre de 0 dans la matrice une fois trigonalisée)

[Guillaume69]

Bonsoir,

Mais sa matrice est diagonalisable puisqu'elle a trois valeurs propres... Non ?

Ayant les valeurs propres, tu n'as plus qu'à donne les vecteurs propres, ce qui te donne la matrice de passage.

[Jeanpaul]

Attention : toutes les matrices 3x3 ont 3 valeurs propres. La diagonalisation n'est assurée que si elles sont toutes différentes, ce qui n'est pas le cas ici.

[A voir en vidéo sur Futura]

[lémathdabor]

Bonsoir les valeurs propres sont 0 et 1 , la multiplicité des racines est différente de la dimension des sous espaces propres associées aux valeur propres 0 et 1 , donc la matrice B n'est pas diagonalisable !

Comment faire pour répondre à la question s'il vous plait

Merci

[lémathdabor]

Bonsoir , merci de regarder en pièce jointe la photo que j'y ai mis , la chose qui m'embête c'est le lien entre le vecteur propre et la forme de Jordan qui convient ? je ne comprend pas pourquoi on doit choisir cette forme de Jordan parmis les 3 ?

[sylvainc2]

C'est parce qu'une matrice sous forme de Jordan est formée de blocs, et il y a un bloc par vecteur propre libre. Dans la photo, il est dit que la matrice A possède un seul vecteur propre libre, donc la forme de jordan est bien celle qui est donnée. Les deux autres formes suggérées ont deux blocs, un de 1x1 et l'autre de 2x2, mais ceci nécessiterait 2 vecteurs propres.

Maintenant, pour ta question originale, ta matrice B a 2 vecteurs propres seulement (et pas trois pour qu'elle soit diagonalisable) donc elle est semblable à une matrice de Jordan sous forme
0 0 0
0 1 1
0 0 1
ou
1 1 0
0 1 0
0 0 0
il y a 2 blocs (ils sont permutables), un bloc de 1x1 pour la valuer propre 0, et l'autre de 2x2 pour la valeur propre double 1.

Pour chaque bloc tu dois former une chaine comme ceci:
(B-lambda*Id) v1 = 0
(B-lambda*Id)^2 v2 = 0
etc...
où v1 est un vecteur propre du bloc, et les v2,v3... sont des vecteurs supplémentaires (mais pas des vecteurs propres de B) qui "complètent" le bloc.
Le nombre de ces v1,v2... dépend de la dimension du bloc.

Dans le cas de B, le bloc de la valeur propre 0 est 1x1 donc pas de problème tu utilises un vecteur propre u1 de celle-ci:
(B-0*Id) u1 = 0

L'autre bloc est 2x2 alors tu dois trouver:
(B-1*Id) u2 = 0
(B-1*Id)^2 u3 = 0

Il vaut mieux commencer pas le dernier élément de la chaine. Tu trouves un u3 qui est dans ker( (B-1*Id)^2 ) mais qui n'est pas dans ker(B-1*Id), ensuite tu remontes la chaine et calcules u2 par (B-1*Id)u3 = u2. Ca te donne les les trois vecteurs u1,u2,u3 à mettre dans les colonnes de P pour calculer P^1 B P.

[lémathdabor]

C'est parce qu'une matrice sous forme de Jordan est formée de blocs, et il y a un bloc par vecteur propre libre. Dans la photo, il est dit que la matrice A possède un seul vecteur propre libre, donc la forme de jordan est bien celle qui est donnée. Les deux autres formes suggérées ont deux blocs, un de 1x1 et l'autre de 2x2, mais ceci nécessiterait 2 vecteurs propres.

Et quels sont ces blocs , j'ai du mal à les distinguer , merci.

[invite7cf0b55f]

Une matrice est diagonalisable si et seulement tout les sous espaces propres ont pour dimension la multiplicité des valeurs propres.
donc dans ton cas il faut vérifier si dim E(1)=2, si ce n'est pas le cas alors il est trigonalisable.

[lémathdabor]

Et quels sont ces blocs , j'ai du mal à les distinguer , merci.

je veux dire les blocs 1x1 et 2x2 ....

[sylvainc2]

Les blocs de Jordan sont le long de la diagonale de la matrice de Jordan. Ta matrice B est semblable à:
0 0 0
0 1 1
0 0 1

Ces blocs sont:
0
en haut à gauche, c'est le bloc 1x1

1 1
0 1
en bas à droite c'est le bloc 2x2.

Un bloc de Jordan de dimension m x m a la valeur propre de ce bloc sur sa diagonale, des 1 immédiatement au dessus de la diagonale, et des 0 partout ailleurs.