Equation différentielle EDLH1

[invitea2257016]

Bonsoir à tous!
Voila, je dois résoudre une equation différentielle mais je bloque vraiment depuis un bout de temps donc j'aimerai bien que vous m'aidiez s'il vous plait?

La voici:
xy'+y=arctan x.

Merci d'avance.

Bonne soirée
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[invite57a1e779]

Bonsoir,

Il s'agit d'une équation linéaire.

1. Tu résous l'équation homogène associée : xy'+y=0.

2. Tu utilises la méthode de la « variation de la constante » pour résoudre l'équation proposée.

Ou bien tu ruses, et tu reconnais en xy'+y une dérivée usuelle.

[invitea2257016]

Oui, c'est ce que j'ai éssayé, mais je n'ai rien trouvé...

[invitec317278e]

tu ne sais pas résoudre l'équation homogène ? Que dit ton cours à propos de équations linéaires homogènes de degré 1 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea2257016]

Si, mais à vrai dire je suis bloqué au moment ou je dois determiner une primitive de Lamba'= -arctan x/x².

[invitec317278e]

une primitive de arctan(x)/x² se calcule en faisant une intégration par parties, puis une décomposition en éléments simples dans l'intégrale qui reste, par exemple.

[invitea2257016]

Dans l'intégrale qu'il me reste j'ai: 1/(t*(1+t²)). Je ne vois pas comment faire une décomposition en élément simple. Peux tu m'expliquer comment faire stp.

PS: j'ai primitivé -1/t² et dérivé arctan x

[invite57a1e779]

Si, mais à vrai dire je suis bloqué au moment ou je dois determiner une primitive de Lamba'= -arctan x/x².

L'équation homogène a pour solutions , réel quelconque.

On cherche les solutions sous la forme . On a alors et les solutions sont obtenues pour . Je ne vois pas de .

On primitive en intégrant par parties, on obtient une fraction rationnelle qui est primitivable à vue.

[invitea2257016]

Justement par ipp je tombe sur l'intégrale de 1/(t*(1+t²)) = 1/(t+t³) et ca je ne sais pas primitiver

[invite57a1e779]

Il faut décomposer en éléments simples : , et on calcule facilement une primitive.

Mais il me semble que tu t'es trompé dans la résolution de l'équation différentielle.

[invitea2257016]

Moi j'ai dis que l'équation homogène xy' + y=0 a pour solutions -Lamba * x

[invite57a1e779]

Moi j'ai dis que l'équation homogène xy' + y=0 a pour solutions -Lamba * x

Non, l'équation a pour solutions .

Il suffit de reporter dans l'équation pour voir que ta solution ne convient pas : , , .

Alors que ma solution convient : , , .

[invitea2257016]

A d'accord!!. Merci beaucoup.

Juste une question, la solution évidente, on la trouve à vu d'oeil, ou il y a un moyen de la determiner?

[invite7c37b5cb]

Bonjour,
xy'+y=(xy)'=arctgx