diagonalisation
Bonsoir tout le monde.
J'ai besoin d'aide pour la première question d'un exercice ULMien...
Soit M et A de M_3(R) telles que MA=AM. On suppose que M est diagonalisable avec trois valeurs propres distinctes. Montrer que tout vecteur prope de M et aussi vecteur propre de A.
Soit X un vecteur propre de M de valeur propre associé k, on a M(A(X))=A(M(X))=kA(X) donc A(X) est un vecteur propre de M associé à la valeur propre k qui est de dimension ? donc où est A(X) ?
ok merci beaucoup pour votre aide!
Dans la suite de l'exercice il faut que je montre qu'il existe (a, b,c ) tel que
A=aI_3+bM+cM^3
Puis je dire que l'on a alors pour tout X de M_3;1(R) tel que AX= aI+bM=cM^2.
Donc en particulier pour X un vecteur propre de M. Dans ce cas on a
AX=(a+bL+cL^2)X et donc kX=(a+bL+cL^2)X et donc K=(a+bL+cL^2)
Je peux donc dire qu'on peut prendre a,b,c tel que l'hypothèse soit vérifiée?
Merci par avance
Re : diagonalisation
Personne ne peut m'aider?
Je crois qu'il y a quelques coquilles (je réécris en bleu) pour être sûr par la suite que l'on parle bien de la même chose.
Pour l'instant tu n'as rien montré (même si a contrario tu as un peu avancé), en effet ton raisonnement consiste à dire "SI j'ai le résultat alors..." ce qui ne peut évidemment rien prouvé.Envoyé par Charlotte138
Là où tu en étais est :
les vecteurs propres de M sont aussi vecteurs propres de A
On en déduit : A est donc diagonalisable dans une base formée par les vecteurs propres de M (M est donc diagonalisable dans cette même base). En écrivant truc' la matrice PtrucP-1 où P est une matrice de changement de base adaptée
M' s'écrit :
donc aId+bM'+cM'² s'écrit
A' s'écrit :
Je n'ai fait que réécrire un peu plus proprement ton idée, c'est maintenant que l'on poursuit, on doit donc et il suffit d'avoir :
Ce qui est possible car...
On peut aussi faire plus "violent" (encore faut-il connaître la notion de polynôme minimal) :
M a trois valeurs propres distinctes donc son polynôme minimal est de degré 3 donc les aId+bM+cM² forment un sev de dimension 3.
Les matrices qui commutent forment aussi un sous espace vectoriel de dimension 3 car sont toutes de la forme PA'P-1, avec les notations de ci-dessus.
Or le premier sev est trivialement inclus dans le second et a même dimension donc lui est égal.
Ce qui est possible car...[/QUOTE]
Je ne vois pas pourquoi je dois justifier que c'est possible et je ne vois pas pourquoi non plus on a besoin de la deuxième égalité?
En tout cas merci!
Désolée de poster encore mais j'aimerais vraiment comprendre cet exercice ...
On part de l'équation en (a,b,c) : A=aId+bM+cM²
Ce qui est possible car...
Je ne vois pas pourquoi je dois justifier que c'est possible et je ne vois pas pourquoi non plus on a besoin de la deuxième égalité?
En tout cas merci!
Si P est la matrice de passage de la base canonique à une base formée de vecteurs propres de M, on a :
Puis sont exprimées les matrices A' et aId+bM'+cM'²
L'équation matricielle ((a,b,c) étant toujours l'inconnue ) devient :
Ce qui donne 9 équations scalaires dont 6 "0=0" qui sont toujours vraies, il ne reste que trois équations scalaires que l'on peut écrire sous forme matricielle comme ci-dessus (cf citation en début de post)
L'inconnue est toujours (a,b,c) il faut donc montrer que cette dernière équation (qui n'est qu'une réécriture de la 1ère) admet une solution.
Si tu ne reconnais pas la matrice 3x3 de la dernière équation, regarde sur un moteur de recherche "matrice de Van der Monde" (mes désoles si j'ai écorché le nom).
ok j'ai compris! merci beaucoup!
