Diagonalisation

inviteb9246c22 · 29/03/2008, 20h32

Slt! On m'a donné une matrice et on me demande si elle est diagonalisable. Voici la matrice:
A= 1 0 0
0 -2 -1
0 1 2

Après avoir déterminé le polynôme caractéristique et après avoir trouvé les valeurs propres de la matrice A (1/2, -1/2), j'ai trouvé comme vecteurs propres
z(0, -3/2, 1) pour la valeur propre 1/2 et z(0, -5/2,1) pour l'autre valeur propre. Je voudrais savoir si quelqu'un pourrait refaire cela: j'aimerais juste être sûr de ne pas m'être trompé.
Ensuite, on me demande de calculer An (A exposant n).
Et là par contre je suis pas du tout sûr de mon résultat. Il s'agit bien de déterminer une base de vecteurs propres B'(i',j',k') et j'ai trouvé
D= 0 0 0
0 0 0
0 0 1
Alors je sais pas si c'est correct. Je vous remercie d'avance pour votre aide. @++.

**erff** · 29/03/2008, 21h58

Maple donne (valeur propre, vecteur propre)

$\text{[math]}$

inviteb9246c22 · 30/03/2008, 06h04

Slt! Je vois mal comment on peut trouver ces valeurs propres et vecteurs propres. Quelqu'un pourrait m'expliquer svp?

**invite1237a629** · 30/03/2008, 09h20

Salut,

Pour le polynôme caractéristique, tu dois trouver $\text{[math]}$

Valeur propre évidente : 1

Donc on peut factoriser par $\text{[math]}$ , ce qui donne $\text{[math]}$

Et tu as les deux autres valeurs propres avec ça : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

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inviteb9246c22 · 30/03/2008, 10h00

Slt! ça y est, j'ai compris. En fait, j'avais fait une erreur de calcul mais par contre, j'ai refait le calcul pour les vecteurs propres mais je ne trouve pas la même chose. Et je ne vois pas pourkoi. Donc si vous pouvez m'aider sur ce point, ce serait sympa. Merci.

**invite1237a629** · 30/03/2008, 10h08

Euh...

Bon on va essayer avec $\text{[math]}$

Le but est de trouver un générateur de $\text{[math]}$ tel que :

$\text{[math]}$
(définition de la valeur propre)

Donc ça nous donne le système :

$\text{[math]}$

De la première équation, on déduit que $\text{[math]}$

Et pour les autres, c'est une simple résolution oO

Ça va mieux ainsi ?

P.S. : désolée, j'avais besoin de mettre les étapes, sinon, je n'y voyais pas clair moi-même...

inviteb9246c22 · 30/03/2008, 10h18

C'est pas grave que tu aies mis les étapes. Comme ça, ça me permet de mieux comprendre car je suis sur cet exo depuis hier. Je vais essayer de calculer les vecteurs propres un par un selon ta méthode et je vais voir si j'y arrive. Je te dirai ça dans quelques instants.@++

inviteb9246c22 · 30/03/2008, 10h52

ça y est, je crois que j'ai finalement réussi à trouver les bons résultats. Donc je présume que l'on peut conclure que la matrice est diagonalisable, n'est-ce pas?
Par contre, pour le calcul de A exposant n, j'avoue que je n'ai pas trop bien compris comment on fait. Je sais que l'on a A(exposant n)=PD(exposant n) P(exposant -1).
Mais je ne vois pas à partir de koi il faut calculer D(exposant n) et ce ke représente P et P(exposant -1). Est-ce que tu pourrais m'expliquer stp?

**invite1237a629** · 30/03/2008, 11h12

Oui, elle est diagonalisable. En fait, si tu as n valeurs propres distinctes pour une matrice nxn tu peux directement conclure qu'elle est diagonalisable (et ses valeurs sur la diagonale seront les valeurs propres). Attention, par contre, si on a une valeur propre avec une multiplicité > 1, on ne peut pas conclure, il faudra déduire que la dimension du sous-espace engendré par cette valeur propre aura pour dimension sa multiplicité. Pouh ça fait beaucoup de mots

Pour les puissances n, je ne connais pas trop... Je pense que tu dois trouver la matrice P de passage (qui t'est donnée par les vecteurs propres), trouve son inverse.
Si D est la matrice diagonale, il me semble que D^n est une matrice avec en diagonale les valeurs initiales de D à la puissance n.

Et euuh A=PDⁿP^-1

inviteb9246c22 · 30/03/2008, 12h24

Je te remercie infiniment pour ton aide. Je suis vraiment pas forte en maths et j'ai vraiment besoin de gens pour m'expliquer parce que j'ai parfois vraiment du mal à comprendre. En tout cas, je te remercie encore. Ton aide m'a été précieuse. Et je vais peut-être encore avoir besoin d'aide dans l'après-midi. Ce serait cool si on pouvait rester en contact car les maths, c'est vraiment pas facile pour moi. Merci encore. @++

inviteb9246c22 · 30/03/2008, 13h30

Je suis dsl mais j'ai encore des questions sur cet exo. Décidément, je coince bcp là-dessus.
En fait, que peut-on déduire graphiquement pour la première valeur propre 1? Est-ce un simple point?
Et puis j'ai essayé de faire le calcul des vecteurs propres en mettent en paramètre z (ou x3) , simplement je ne trouve pas le même résultat de vecteur. Est-ce normal?

**invite1237a629** · 30/03/2008, 13h47

Euh graphiquement, aucune idée oO

Pour y et z, dans le cas vlp = racine(3), tu as y en fonction de z. Prends n'importe quelle valeur pour l'un ou pour l'autre, en gros un couple qui marche. Le plus important est que ce soit un vecteur générateur et il y en a une infinité, puisque tout vecteur du sous-espace s'exprimera en fonction.

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