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diagonalisation



  1. #1
    Manolack

    diagonalisation


    ------

    J'ai des problemes pour trouver la matrice de passage me permettant de diagonaliser une matrice.

    Voici l'exercice que j'ai essayé de faire.

    au départ on m'a donné une matrice A 3*3 avec une constante a a l'intérieur.

    0 a a²
    1/a 0 a
    1/a² 1/a 0

    le polynome caractéristique est: -(L+1)²(L-2)
    ce qui nous donne deux valeurs propres: -1 de multiplicité 2 et 2

    le sous espace propre assoscié à la valeur propre -1 m'a donné:
    x+ay+a²z=0 C'est un plan donc de dimension 2. A priori c'est cool puisque pour que la matrece soit diagonalisable, il fallait que le sous espace soit de dimension egale a la multiplicité de la valeur propre .

    le sous espace propre asocié à la valeur propre 2 m'a donné:
    x=ay=a²z=0.

    La matrice diagonalisée est donc:

    -1 0 0
    0 -1 0
    0 0 2

    Le problème c'est que je ne sais pas comment trouver la matrice de passage.

    Vous pouvez m'aider ?

    -----
    Un bonjour à tous ceux qui m'ont dit que les maths c'était pas pour moi :D

  2. #2
    Manolack

    Re : diagonalisation

    Mince je suis désolé mais je ne savais pas comment faire les matrices c'est pour ca que c'est tres moche ^^
    Un bonjour à tous ceux qui m'ont dit que les maths c'était pas pour moi :D

  3. #3
    GuYem

    Re : diagonalisation

    Pas grave on a compris tes matrices

    Pour trouver une matrice de passage il te faut trouver une base de chaque espace propre.
    Pour ce faire prend lambda une valeur propre et résoud le système
    AX = lambda X.

    Pour la valeur propre 2 tu ne devrais qu'une solution non nulle puisque l'espace propre est de dimension 1
    Pour la valeur propre -1 tu devrais trouver 2 solutions linéairement indépendantes puisque l'espace propre est de dimension 2

    Ces trois vecteurs te formeront une base de E dans laquelle ta matrice sera diagonale comme tu l'as marqué.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #4
    Manolack

    Re : diagonalisation

    En fait quand je résoud, AX= (-1) X, j'obtient :
    x+ ay +a²z =0
    donc je re-obtient un plan, au lieu d'obtenir deux vecteurs.
    Snif ...
    Un bonjour à tous ceux qui m'ont dit que les maths c'était pas pour moi :D

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    GuYem

    Re : diagonalisation

    Et ton plan en question, tu ne pourrais en trouver une base ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  7. #6
    Manolack

    Re : diagonalisation

    En fait non. Je ne sais plus coment faire. Je n'ai pas du tout d'idée ...
    Comment fait on pour trouver ne serait ce qu'un vecteur de ce plan ?
    Un bonjour à tous ceux qui m'ont dit que les maths c'était pas pour moi :D

  8. #7
    GuYem

    Re : diagonalisation

    Euh je sais pas moi, il faut trouver un vecteur x,y,z tel que x+ ay +a²z =0

    je t'aide un peu en te disant (0,a,-1) marche par exemple.
    Essaye d'en trouver un autre qui soit linéairement indépendant de celui là et tu auras ta base.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  9. #8
    Manolack

    Re : diagonalisation

    en fait c'est bon j'arrive a avoir des vecteurs en tatonnant. Par contre est ce que tous les vecteurs que je vais trouver vont me donner une matrice de passage correct ? c'est a dire qu'il faut que je puisse l'inverser?

    Pour le sous espace associé à la valeur -1 j'ai trouvé les vecteurs:

    a
    -1
    0

    et

    0
    a
    -1

    et pour l'autre sous espace j'ai trouvé:


    a
    1

    Mais j'aurais pu en trouver d'autres et est ce qu'ils auraient donné une bonne matrice ?
    Un bonjour à tous ceux qui m'ont dit que les maths c'était pas pour moi :D

  10. #9
    GuYem

    Re : diagonalisation

    Tant qu'ils sont libres, tu auras une matrice inversible!

    Tu n'as qu'à coller ces trois vecteurs dans une matrice P, calculer son determinant, l'inverser et calculer

    PAP^-1 pour te rassurer sur le fait que ça va bien faire ta matrice diagonale D.

    (Pour le sens PAP^-1 je suis pas sur, c'est ptêtre bien P^-1 AP, je sais jamais )
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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