Probleme de diagonalisation

[lolouki]

Bonjour tout le monde,
j'ai un petit probleme d'algebre ...

Soit A la matrice 3*3 :
( 2 -2 -i )
(-2 -1 -2i)
( i 2i 2)

j'ai montré que cette matrice était hermitienne, donc d'apres un theoreme de mon cours elle est diagonalisable. Mon but est de trouver une base de vecteurs propres orthonormale.

j'ai calculé le polynome caracteristique, j'ai trouvé :
Pa(X) = (X-3)²*(X+3)

j'ai trouvé deux vecteur propres du sous espace caracteristique de la valeur propre 3 , mais pour -3 je n'y arrive pâs.

je trouve que si (x,y,z) appartient a ker(A+3*id) alors :

5x-2y-iz=0
-2x+2y-2iz=0
ix+2iy+5z=0

or cela est reduit a (0,0,0) donc -3 ne serait pas valeur propre.

je n'arrive pas a voir mon erreur, si quelqu'un pouvait m'aider, merci d'avance
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[Jeanpaul]

La trace de la matrice est égale à la somme des valeurs propres. Elle vaut 3 donc tes valeurs propres ne collent pas.

[invitebfba5092]

Bonjour tout le monde,
j'ai un petit probleme d'algebre ...

Soit A la matrice 3*3 :
( 2 -2 -i )
(-2 -1 -2i)
( i 2i 2)

j'ai montré que cette matrice était hermitienne, donc d'apres un theoreme de mon cours elle est diagonalisable. Mon but est de trouver une base de vecteurs propres orthonormale.

j'ai calculé le polynome caracteristique, j'ai trouvé :
Pa(X) = (X-3)²*(X+3)

j'ai trouvé deux vecteur propres du sous espace caracteristique de la valeur propre 3 , mais pour -3 je n'y arrive pâs.

je trouve que si (x,y,z) appartient a ker(A+3*id) alors :

5x-2y-iz=0
-2x+2y-2iz=0
ix+2iy+5z=0

or cela est reduit a (0,0,0) donc -3 ne serait pas valeur propre.

je n'arrive pas a voir mon erreur, si quelqu'un pouvait m'aider, merci d'avance

salut,

pour calculer les valeurs propres de ta matrice est ce que tu as bien fait det(MATRICE-lamda I)=0 avec I matrice identité. une fois que tu as tes valeurs propres tu en deduit tes vecteurs et le tour et jouer car apres tu as ta base

[invitebfba5092]

au passage je te rappelle que pour savoir si ta matrice est diagonalisable ou pas il te suffit de calculer ton determinant et si il est different de 0 elle est diagonalisable

[A voir en vidéo sur Futura]

[lolouki]

Bonsoir,
totu d'abord merci pour votre aide mais :
la somme de mes valeurs propres : 3 + 3 - 3 = 3 (car 3 est valeur propre double)

pour calculer mon polynome caracteristique j'ai bien calculer : det(X*id - matrice) j'ai trouvé mon polynome.

Enfin pour voir si elle etait diagonalisable j'ai juste dit que c'etait une matrice hermitenne qui est une condtition suffisante . donc je ne vois toujours pas la ou j'ai fait une erreur (j'ai refait le raisonnement une 2eme fois j'ai trouvé pareil )

[invite9cf21bce]

Salut !

je trouve que si (x,y,z) appartient a ker(A+3*id) alors :

5x-2y-iz=0
-2x+2y-2iz=0
ix+2iy+5z=0

or cela est reduit a (0,0,0) donc -3 ne serait pas valeur propre.

je n'arrive pas a voir mon erreur, si quelqu'un pouvait m'aider, merci d'avance

Donc la matrice de ton système n'est pas de rang 3 (et tu gagnes un vecteur propre en prime ).

Taar.

[lolouki]

Ah merci je vois mon erreur ...
j'ai considé que x,yet z etaient reels ... als que c'est totalement faux !! merci beaucoup, bonne soiree .

[Scorp]

au passage je te rappelle que pour savoir si ta matrice est diagonalisable ou pas il te suffit de calculer ton determinant et si il est different de 0 elle est diagonalisable

Soit je n'ai pas compris la phrase, soit c'est faux. Tu ne confondrais pas avec l'inversibilité par hasard ? Le déterminant non nul d'une matrice nous indique si elle est inversible ou pas. On n'a pas de renseignements sur la diagonalisation. Même le polynôme caractéristique Det(A-XI) ne nous permet pas à coup sûr de savoir si la matrice est diagonalisable.