Décomposition en éléments simples

invite9811885e · 11/01/2010, 22h46

besoin d'aide pour la décomposition de cette fonction rationnelle en éléments simples:

((3x^2-4x+2))/((x-5) (x^2+2x+4)^2 )

merci d'avance

**ichigo01** · 11/01/2010, 23h07

Salut !

Commencez par faire la division euclidienne , vous allez obtenir une partie entière ..

invite57a1e779 · 11/01/2010, 23h11

Le numérateur est de degré 2, le dénominateur de degré 5 : la partie entière est nulle.

**ichigo01** · 11/01/2010, 23h13

Désolé j'ai pas fais attention !!
Oui , la partie entière est bien nulle !

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite9811885e · 11/01/2010, 23h17

oui justement je ne peux pas faire la division dans ce cas, quoi faire pour résoudre ce problème ?merci quand même ichigo 01

invite57a1e779 · 11/01/2010, 23h19

Ensuite on écrit la décomposition en éléments simples avec des coefficients indéterminés :

$\text{[math]}$

et il y a des méthodes usuelles pour déterminer les valeurs de a, b, c, d et e.

Par exemple, on multiplie l'égalité de décomposition par x-5, et l'on évalue pour x=5 pour obtenir la valeur de a.

**ichigo01** · 11/01/2010, 23h23

Si je me trompe pas, vous procédez ainsi :

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

On voit que l'imparité ne nous donne rien , donc vous multiplier par un dénominateur pour simplifier ensuite vous substituez par sa racine ..

Edit : God's Breath , J'étais entrain d'écrire mon message , donc je me suis pas aperçus du vôtre !! , pourtant cette fois je ne me trompe pas !

**ichigo01** · 11/01/2010, 23h41

Pour le a :
on multiplie d'abord par (x-5) :
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
Et en substituant 5 à x ( çad: en posant x = 5 ) , on obtient : $\text{[math]}$

invite9811885e · 11/01/2010, 23h53

oui c'est bien ce que j'ai trouvé pour a
si je multiplie f(x) par (x^2+2x+4)^2 puis je donne à x la valeur 0
est ce que c'est correcte car j'obtient :-2/5=(-1/5)a + 4e +e

**ichigo01** · 11/01/2010, 23h54

pour d et e : remarquez que le Discriminant de $\text{[math]}$ est négatif , elle n'admet donc pas de racine réelle , il faut donc chercher les racines complexes , si c'est demander de trouvez la décomposition dans R vous devez avoir un résultat dans R si non c'est dans C quel qu'on soit !

**ichigo01** · 11/01/2010, 23h56

Envoyé par asmae86

oui c'est bien ce que j'ai trouvé pour a
si je multiplie f(x) par (x^2+2x+4)^2 puis je donne à x la valeur 0
est ce que c'est correcte car j'obtient :-2/5=(-1/5)a + 4e +e

Est ce que 0 est une racine de $\text{[math]}$ ??
Lis mon message précédent !

invite57a1e779 · 12/01/2010, 08h23

Envoyé par ichigo01

pourtant cette fois je ne me trompe pas !

Non, et tu as parfaitement raison de dire que, après multiplication de la décomposition en éléments simples par $\text{[math]}$ , il faut évaluer en une racine de $\text{[math]}$ ; l'évaluation en 0 ne fournit d'ailleurs pas le résultat proposé par asmae86.

On dispose aussi de la technique suivante : on multiplie la décomposition en éléments simples par $\text{[math]}$ , d'où

$\text{[math]}$

et l'on fait tendre $\text{[math]}$ vers l'infini pour obtenir $\text{[math]}$ et la valeur de $\text{[math]}$ .

**ichigo01** · 12/01/2010, 20h19

D'accord ,
En faite plus ces méthodes ( imparité , multiplication et substitution , multiplier par x et tendre vers l'infini , changement de variable ) est ce que parfois on peut recourir à d'autre méthodes , car en examen j'avais essayé toutes les méthodes sur une fraction rationnelle et je n'ai pas trouvé le résultat !!!

invite57a1e779 · 12/01/2010, 20h46

Ces méthodes sont en général suffisantes tant que les pôles ne sont pas d'ordres trop élevés.
Il existe des méthodes par changement de variable, par division suivant les puissantes croissantes...

Décomposition en éléments simples