isotrope et base orthogonale

[invitef7cb9c5c]

Bonjour
on me donne E= R⁴ rapporté à la base canonique B={e₁, e₂,e₃,e₄}et f sa forme bilinéaire symétrique
j'ai vérifiée que f est non dégénérée
puis je dois montrer que tout sous espace V totalement isotrope de dim max vérifie V= V^orthogonal et que V= vect{e₃,e₄} est totalement isotrope
pour finie est-ce qu'on peut construire une base B' orthogonale pour f et contenant e₃?
je suis perdue, par quel bout prendre ces questions?
fifrelette
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[invite57a1e779]

on me donne E= R⁴ rapporté à la base canonique B={e₁, e₂,e₃,e₄}et f sa forme bilinéaire symétrique

Bonjour,

Je ne savais pas que R⁴ rapporté à sa base canonique avait sa propre forme bilinéaire symétrique.

[invitef7cb9c5c]

pardon, je voulais écrire f est la forme bilinéaire dont la matrice dans B est M dont les lignes sont 20-1-1;02-11;-1-100;-1100
fifrelette

[invite8bec0b2b]

Bonsoir.
Soit un E=R4 rapporté à sa base canonique(e1,e2,e3,e4)et f la forme bilinéaire de matrice( 2 0 -1 - 1)
( 0 2 -1 1 )
(-1 -1 0 0 )
( -1 1 0 0 )
comment montrer que V=vect(e3,e4) totalement isotrope ?
On doit avoir f(e3,e4)=0 !
Merci de votre aide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Il suffit de lire, sur la matrice de f, que la restriction de f à V est nulle.

[invite8bec0b2b]

Bonjour.
Pour montrer que f(e3,e4)=0, ok pour la restriction. Mais en utilisant la formule matricielle si M est la matrice de ce sujet,
M*(0,0,1,0)= 0...
M*(0,0,0,1)= 0...
On devrait avoir le même résultat ?
Merci de votre réponse

[invitef7cb9c5c]

Bonjour God's Breath et Kreolito
je viens de lire vos échanges et j'aimerai savoir ce qu'il faut comprendre par :" la restriction de f à v est nulle"
merci
Fifrelette

[invite57a1e779]

La forme bilinéaire a pour matrice dans la base : .
La restriction de au sous-espace a pour matrice le bloc défini par les lignes 3 et 4 et les colonnes 3 et 4 de , c'est-à-dire .

[invitef7cb9c5c]

bonsoir God's Breath
merci de m'aider encore une fois
ça s'est trés clair
est-ce que ce résultat me permet de dire que e₃ est isotrope
Or pour que e₃ fasse partie d'une base orthogonale pour f , e₃ ne doit pas être isotrope n'est-ce-pas?
mais je sais pas pourquoi? est-ce que le fait que f est non dégénéré (c'est-à-dire que son noyau =0) intervient?
fifrelette

[invite57a1e779]

est-ce que le fait que f est non dégénéré (c'est-à-dire que son noyau =0) intervient?

Si un vecteur isotrope appartient à une base orthogonale, alors il est orthogonal à tous les vecteurs de la base, y compris lui-même, donc il appartient au noyau de la forme bilinéaire symétrique.

[invitef7cb9c5c]

D'accord
si e₃ est isotrope et appartient à une base orthogonale alors il est orthogonale à lui-même donc il est un élèment du noyau
or le noyau ne contient aucun vecteur ( sauf le vecteur nul... peut-être même pas ) en tout cas pas e₃ ce qui est une contradiction
je crois que j'ai compris
retse à vérifier comment on sait que e₃ est isotrope, je dirais que ça se déduit du fait que V= vect{e₃, e₄} est totalement isotrope
ou faut-il calculer
f(e₃,e₃)=0 implique que e₃ est isotrope
merci God's Breath, ça s'éclaircit, il me reste juste cette question comment montrer que e3 isotrope
fifrelette

[invite57a1e779]

f(e₃,e₃)

Cette valeur se lit directement sur la matrice de f !

[invitef7cb9c5c]

mais bien sur comme on a lu sur la matrice les valeurs de la restriction de f au sous espace V
à force de me le dire sur tous les tons, je crois que je comprends mieux
la pédagogie est vraiment à base de répétition, enfin je saisis souvent les choses quand on me les dit plusieurs fois
merci
fifrelette