Base sous espace orthogonale

[inviteed4c160a]

Bonjour, je souhaiterais un coup de pouce.

Si on a
E={X=(x1,x2,x3) de R^3 vérifiant le système suivant : 2x1+x2+x3=0 et x1+2x2-x3=0}, pour trouver une base orthogonale du sous espace de E, j'ai procédé de la manière suivante.

J'ai résolu le système et j'ai trouvé comme base du sous espace de E la base {v1} tel que v1=(-1,1,1).

Mais comment trouver une base othogonale à E ?

Merci de votre aide.

J'aurais voulu essayé l'orthonormalisation de Graham Schmidt mais je ne sais pas comment faire avec un seul vecteur et je ne sais pas du tout si je suis dans la bonne direction ou non.
Dc une petite aide serait la bienvenue.

Je vous remercie d'avance de bien vouloir m'aider.

A bientôt.
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[invite8bc5b16d]

Salut,

tu es dans R^3 et tu as 2 équations linéaires pour définir E. Elles ne sont pas colinéaires donc définissent une droite. Tu as déterminé un vecteur directeur de cette droite à travers v1 (je n'ai pas vérifié les calculs). L'espace orthogonal à E est donc le plan perpendiculaire à cette droite passant par O. Or un vecteur directeur d'une droite te donne directement l'équation des plans orthogonaux à une constante près (qui sera nulle pour passer par O). A partir de l'équation de ce plan, tu devrais pouvoir trouver assez facilement deux vecteurs linéairement indépendants, qu'il te suffira d'orthonormaliser par gram-schmidt pour avoir une base de l'espace orthogonal à E

[inviteed4c160a]

Bonjour,

alors déjà merci de ton coup de pouce alien49. J'ai donc trouvé comme base orthogonale la base b=(e1,e2,e3) avec e1=(1,-2,0,1), e2=(1,1,1,1) et e3=(-5/3,7/3,1,-5/3).

Mais voilà j'ai une autre difficulté que j'aimerais bien surmonter.

Il faut donner une base orthonormée de R^3 commençant par une base orthonormée de E et d'exprimer les coordonnées d'un vecteur quelconque de R^3 dans cette base en fonction de celles dans la base canonique.

Je vous remercie d'avance de votre aide.

A bientôt.

[inviteed4c160a]

je me suis trompé en donnant la nouvelle base. Je trouve que e1=(-1,1,1) e2=(-1,2,-3) et e3=(27/7,-19/7,26/7)

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteed4c160a]

euh sinon j'ai une autre solution pour trouver une base orthogonale.
Si on prend le plan perpendiculaire à v1 on trouve un vecteur v2 appartenant au plan qui vérifie son équation. Et si on fait le produit vectoriel des 2 vecteurs on a directement une base orthogonale.

Mais quand on demande de donner une base orthonormé de R^3 commençant par une base orthonormée de E je fais quoi parce que je suis un peu pomé.

[inviteed4c160a]

Un petit coup de main car la je suis un peu pommé svp. Je patauge.



Thks

[inviteed4c160a]

Personne peut m'aider ?

[inviteed4c160a]

Up

Un coup de pouce svp.
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[invite57a1e779]

Mais quand on demande de donner une base orthonormé de R^3 commençant par une base orthonormée de E je fais quoi parce que je suis un peu pomé.

Tu fabriques une base orthonormée à partir de la base orthogonale : il suffit de rendre les vecteurs unitaires.

[inviteed4c160a]

Merci de ton coup de pouce mais l'autre méthode suivante que j'avais cité ( Si on prend le plan perpendiculaire à v1 on trouve un vecteur v2 appartenant au plan qui vérifie son équation. Et si on fait le produit vectoriel des 2 vecteurs on a directement une base orthogonale ) est elle aussi juste ?

Mais j'ai une autre question. Si on aurait un exo similaire à celui-ci, mais on aurait trouver une base de R^4 composé de 2 vecteurs. Comment aurait on pu construire une base orthogonale car il me faudrait un vecteur supplémentaire aux 2 autres pour construire la base orthogonale?

[inviteed4c160a]

Bonjour, j'ai trouvé toutes les questions grâce à vous mais pour la base canonique je fais comment ?

Encore merci de votre aide

[inviteed4c160a]

bon j'ai trouvé. Il suffit juste de construire la matrice de passage et le tour est joué.