théoréme de bolzano weistrass

[invite5e819cf8]

salut tout le monde;
j'ai pas compris la démonstration du théoréme de bolzano weistrass .
le cas où l'intervale est infinie.
merci
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[thepasboss]

Bonjour,
Bah le théorème de BW ne dit rien sur les suite qui ne sont pas inclu dans un intervalle non fermé... Enfin qu'entend tu par "infini" ? Non borné ?

[invite5e819cf8]

Bonjour,
Bah le théorème de BW ne dit rien sur les suite qui ne sont pas inclu dans un intervalle non fermé... Enfin qu'entend tu par "infini" ? Non borné ?

Re : théoréme de bolzano weistrass

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Bonjour,
Bah le théorème de BW ne dit rien sur les suite qui ne sont pas inclu dans un intervalle non fermé... Enfin qu'entend tu par "infini" ? Non borné ?
salut;
car on a 2 choses:
soit X={xn,n appartient à N) qui est fini alors on peut déduire direcetement que la suite admet une valeur d'adhérence car il existe une sous suite qui converge;soit X est infini(il y a une infinité des nobmres) dans ce cas c'est difficile de déduire directement qu'elle admet une valeur d'adhérence .

[thepasboss]

bon aucun rapport avec 'l'infinité' de l'intervalle en fait.

Bon bah une méthode qui marche et que je trouve assez intuitive.

Tu supposes que ta suite atteint une infinité de valeur réel, avec les hypothèses de BW : C'est à dire que l'ensemble des valeurs de la suite est inclu dans un intervalle de la forme [-M,M], M réel strictement positif.

Tu divise cette intervalle en deux intervalles de même longueur : [-M,0] et [0,M]. Comme la suite prend une infinité de valeur dans [-M,M], alors l'un au moins de ces deux intervalles contient une infinité de valeur de la suite. On appelle I(1) cet intervalle, et on le divise encore une fois en deux, et on fait la mm remarque, et on sélectionne I(2), la "moitié" de I(1) qui contient une infinité de valeurs de la suite, et ainsi de suite pour construire I(3), I(4), etc...

Tu obtiens ainsi une suite d'intervalle tous imbriqués les un dans les autres, tels que I(n+1) soit "deux fois plus petit" que I(n) et surtout, tels que chaque I(n) contienne une infinité de valeurs de la suite.

Moyennant une petite discussion sur les indices, tu peux extraire une sous suite (yn') de ta suite de départ (xn) qui vérifie yn' appartient à I(n') (en prenant en compte que la suite x a une infinité de valeurs dans i(n')). Ensuite tu peux encadrer yn' par inf(I(n')) et sup(I(n')) puisque yn' est dans I(n'), et il ne te reste plus qu'à montrer que ces deux suites inf(I(n')) et sup(I(n')) sont adjacentes (ce qui est assez clair étant donné la construction des I(n) ) pour avoir la convergence de yn'.


Fait un dessin et représente tes intervalles imbriqué les uns dans les autres, tu verras c'est assez... Visuel ^^

En espérant ne pas avoir fait de coquille et ne pas avoir été trop brumeux avec mes choix d'indices

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Salut,

si la suite n'est pas bornée, il n'y a aucune raison pour qu'elle admette une valeur d'adhérence (e.g. ).

Cordialement.

[sadben2004]

" soit X={xn,n appartient à N) qui est fini alors on peut déduire directement que la suite admet une valeur d'adhérence car il existe une sous suite qui converge "

Peux tu expliquer de façon plus détaillé cette affirmation, Achraf ?

(Tu doit apprendre a analyser et comprendre de telle démonstrations même si il paraissent compliquées, vas y doucement en te donnant le temps nécessaire pour comprendre chaque étape)

[invite5e819cf8]

" soit X={xn,n appartient à N) qui est fini alors on peut déduire directement que la suite admet une valeur d'adhérence car il existe une sous suite qui converge "

Peux tu expliquer de façon plus détaillé cette affirmation, Achraf ?

(Tu doit apprendre a analyser et comprendre de telle démonstrations même si il paraissent compliquées, vas y doucement en te donnant le temps nécessaire pour comprendre chaque étape)

salut voilà l'explication:
X est finie ==> il existe x0 appartient à X
I={n appartient à N; xn=x0}==>I est une partie infinie de N
comme par exemple le cas de la suite altérné (-1)^n. X : est un ensemble fini car on a soit -1 ou 1. et I(indice -1)= 2k+1(les impaires) et I(indice 1)= 2k(les paires) donc I est infinie.
bon on continue:
I est une partie infinie de N
I={phi(0),phi(1),.......} .
alors pour tout n appartien à N xphi(n)=x0
donc x0 est une valeur d'adhérebce de xn; n>=0

[invite5e819cf8]

bon aucun rapport avec 'l'infinité' de l'intervalle en fait.

Bon bah une méthode qui marche et que je trouve assez intuitive.

Tu supposes que ta suite atteint une infinité de valeur réel, avec les hypothèses de BW : C'est à dire que l'ensemble des valeurs de la suite est inclu dans un intervalle de la forme [-M,M], M réel strictement positif.

Tu divise cette intervalle en deux intervalles de même longueur : [-M,0] et [0,M]. Comme la suite prend une infinité de valeur dans [-M,M], alors l'un au moins de ces deux intervalles contient une infinité de valeur de la suite. On appelle I(1) cet intervalle, et on le divise encore une fois en deux, et on fait la mm remarque, et on sélectionne I(2), la "moitié" de I(1) qui contient une infinité de valeurs de la suite, et ainsi de suite pour construire I(3), I(4), etc...

Tu obtiens ainsi une suite d'intervalle tous imbriqués les un dans les autres, tels que I(n+1) soit "deux fois plus petit" que I(n) et surtout, tels que chaque I(n) contienne une infinité de valeurs de la suite.

Moyennant une petite discussion sur les indices, tu peux extraire une sous suite (yn') de ta suite de départ (xn) qui vérifie yn' appartient à I(n') (en prenant en compte que la suite x a une infinité de valeurs dans i(n')). Ensuite tu peux encadrer yn' par inf(I(n')) et sup(I(n')) puisque yn' est dans I(n'), et il ne te reste plus qu'à montrer que ces deux suites inf(I(n')) et sup(I(n')) sont adjacentes (ce qui est assez clair étant donné la construction des I(n) ) pour avoir la convergence de yn'.


Fait un dessin et représente tes intervalles imbriqué les uns dans les autres, tu verras c'est assez... Visuel ^^

En espérant ne pas avoir fait de coquille et ne pas avoir été trop brumeux avec mes choix d'indices

merci .
j'ai compris votre démonstration:c'est l'utilisation du principe de dichotomie qui consiste à découper un intervalle en deux portions. aprés on va extraire deux sous suites adjacentes (qui sont convergentes donc la suite bornée admet une valeur d'adhérence).