Démonstration du Théorème de Bolzano-Weierstrass

[invite0ae9db9b]

Bonjour,

J'ai la démonstration du théorème de Bolzano-Weierstrass à établir suivant des consignes précises. Or, je n'arrive pas à débuter ma démonstration suivant la logique du professeur. Si vous pouviez m'aider à trouver des pistes ...

Théorème : De toute suite bornée (Un) nЄN, on peut extraire une sous-suite convergente.

La première partie de la démonstration est la suivante :
- Poser, pour tout n Є N, Vn= sup (Ui) avec i≥n.
Démontrer que (Vn) nЄN est décroissante et minorée donc
convergent vers un limite l Є R.

Je ne sais pas comment expliquer cette première partie. J'attends vos idées.

Merci d'avance !
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[invite7ffe9b6a]

Bonsoir,

Tu as montré quelque chose dans cette question ou tout te pose probleme?

Il y a deux choses à prouver

-décroissante

-minorée

[invite57a1e779]

Indication : .

[invite7ffe9b6a]

Indication : .

n'est-ce pas plutot
?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Bien sûr que si !!!

[invite0ae9db9b]

Merci beaucoup, mais je ne vois vraiment pas comment de la borne supérieure d'une suite ( Vn= sup (Ui) avec i≥n ), on peut passer au maximum de deux suites ( Vn=max(Un,V(n+1)) ).

[invite57a1e779]

Majorer l'ensemble , c'est majorer les ensembles et , donc on a immédiatement et .

[invite0ae9db9b]

Ah oui d'accord, merci.

Mais maintenant que je sais que Vn est un maximum et qu'elle est décroissante, à partir de quels éléments je peux trouver qu'elle est aussi minorée ?

[invite7ffe9b6a]

Tu sais que pour tout entier n

donc la suite v est décroissante.

Maintenant la suite v est construite à partir de u.

Qu'est-ce qu'on sait de la suite u?

[invite0ae9db9b]

Qu'elle est bornée ?

[invite7ffe9b6a]

oui donc v est bornée aussi donc minorée.

Maintenant une suite décroissante et minorée......

[invite0ae9db9b]

... converge vers une limite finie l.

Merci beaucoup pour votre aide !

[invite0ae9db9b]

La deuxième partie de la démonstration est :
- Demontrer que pour tout ε>0, il existe nЄN tel que pour tout m≥n, il existe i≥m tel que | Ui-l | ≤ ε .


Je pense que je dois me servir du fait que Vn converge pour montrer cette deuxième partie.

Qu'en pensez-vous ?

[invite57a1e779]

Non, tu dois te servir de la définition de Vn en tant que borne supérieure d'un ensemble de nombres réels.

[invite0ae9db9b]

Je pense avoir trouvé la solution.

Merci de votre aide.

(Je demanderai surement un avis sur la troisième partie un peu plus tard...)

[invite0ae9db9b]

La troisième et dernière partie de la démonstration est :
-En choisissant ε de la forme ε=1/k, k≥1,
trouver une sous-suite (Uik) avec k≥i convergeant vers l.

En partant de la conclusion de la seconde partie, comment puis-je trouver cette suite ? Faut-il que je donne une valeur à l ?

[invitec615a0a6]

hum.. apparamment bidou47 nous sommes dans la même classe, et visiblement dans la même galère ^^
Pour la 2eme question, j'aurais fait comme toi, cad partir du fait que Vn converge et donc appliquer la définition de la limite.
Parce que je ne vois vraiment pas comment me servir de la définition de Vn en tant que borne supérieure d'un ensemble de nombres réels..!!
(quant à la 3eme question.. je suis dans le brouillard le plus total !)

[invite0ae9db9b]

J'ai vraiment besoin d'un petit peu d'aide pour débuter ma troisième partie svp ...

[invite7ffe9b6a]

En prenant les espilon =1/k et en utilisant le 2, tu trouves un entier Ik extrait de la suite u tels que

|UIk-l|<1/k

reste à faire attention a bien fabriquer une sous -suite, les Ik doivent etre strictement croissants