Bonjour à tous,
Je pense que la question a déjà dû être posée, mais je n'ai rien trouvé en faisant une recherche dans les anciennes discussions.
Comme le titre de la discussion l'indique, je me demandais pourquoi on excluait le nombre un de la définition des nombres premiers. J'ai compris que cela était une condition sine qua non du théorème fondamental de l'arithmétique, mais je voulais savoir s'il y avait une raison plus fondamentale.
Pourriez-vous m'éclairer ?
Merci d'avance
Phys2
If your method does not solve the problem, change the problem.
C'est une question de terminologie. Il n'y a jamais rien de fondamental dans la terminologie. Le sens d'un terme est choisi selon si c'est pratique ou non (du moins pratique au moment quand le choix est possible; souvent le poids de l'histoire rend tout changement impossible ensuite même quand le choix se révèle peu pratique après coup).Envoyé par Phys2
Dire que 1 est premier est (du moins aurait été) possible : c'est un choix de terminologie, de langage pour communiquer. Mais à l'usage, ce n'est pas pratique, et le choix inverse est préféré.
Cordialement,
Une réponse de pas matheux pour deux sous:
Si 1 est premier, le crible d'Ératosthène ne marche pas.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Crible_d'%C3%89ratosth%C3%A8ne
Cela me semble aussi lié au fait que un n'est pas terrible comme base de comptage et que deux est bien plus intéressante. (Mais je ne suis pas sûr.)
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Salut,
Si 1 est premier alors tu perds des affirmations pratiques du genre "un nombre premier n'est pas divisible par un nombre premier différent" ou "un nombre premier admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même", ...
Ça obligerait donc à souvent prendre en compte le cas particulier où tu parles de 1. Donc la convention de ne pas le considérer comme premier est généralement plus pratique.
Basiquement ca t'enleverait le theoreme fondamental de l'arithmetique, plus exactement ca impliquerait que la decomposition en produit de nombre premier d'un entier donné ne serait plus unique.
Une definition possible de la primalité qui rend l'exclusion de 1 naturelle est celle que signale Coincoin : "un nombre premier est un entier qui admet exactement deux diviseurs positifs".
La définition d'un nombre premier p est celle d'élément irréductible dans un anneau commutatif, à savoir essentiellement :
p=ab => a ou b inversible
Dans cette implication, rien ne serait incohérent si on acceptait les inversibles (c'est-à-dire 1 et -1 dans Z).
En fait ce n'est pas une question définition, mais surtout une question d'utilisation.
Et réciproquement
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Vous connaissez la propriété << Z/pZ est intègre si et seulement si p est premier >> ?
Elle fonctionne dans le cas où p=1 car l'anneau nul est intègre ( xy=0 => x=0 ou y=0 ) .
Je ne connais pas, par contre je connais : «est un corps si, et seulement si,
Certains auteurs préfèrent que 0 != 1, ce qui fait que {0} n'est pas un anneau avec cette définition (et dire quelle est la meilleure définition reviens à se poser la question de l'utilisation), mais le fond du problème n'est pas là, il est que la définition que l'on choisit est lié à l'utilisation (d'où mon intervention précédente), à savoir que la meilleure définition est la plus économique dans l'énoncé des théorèmes (dans le sens : est-ce que je dois plus souvent préciser "pour n!= 1" dans un cas, ou "pour n premier ou égal à 1" dans l'autre).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Qu'il existe des expressions plus simples si on considère les inversibles comme premiers n'est pas à mettre en doute.
Mais il existe aussi des expressions plus simples si les inversibles ne sont pas considérés comme premiers.
Qu'on puisse tout écrire de manière cohérente avec l'une ou l'autre des conventions est évident.
Il n'y a pas d'argument "fondamental", c'est juste une question de convention, de choix.
S'il y a un quasi consensus pour présenter les inversibles comme non premiers, à quoi cela peut-il bien servir de proposer le choix inverse?
Cordialement,
oula, dire que {0} n'est pas un anneau me parait (personnellement) pas heureux.
Je suis d'accord que ce sont les théorèmes qui font les définitions (si je peux dire).
En ce qui concerne la définition de "premier" (nombre ou idéal), je pense que c'est pour des raisons historiques que les premiers ne sont pas inversibles. Bien sûr, ce choix historique s'est fait pour de bonnes raisons : par exemple, peut-être, pour l'unicité de la factorisation, pour des histoires de localisation, etc.
Mais en réalité on pourrait définir des premiers vérifiant : p|ab => p|a ou p|b , dont les inversibles feraient partie. On parlerait alors de premiers (inversibles inclus) et de premiers propres (inversibles exclus). Certains théorèmes sont vrais avec des premiers (inversibles inclus), d'autres avec des premiers propres seulement.
Cela permet d'établir des théorèmes pour les anneaux A sans avoir à préciser A différent de {0} (j'ai la flemme de chercher lequels) ; mais surtout, comme déjà dit cela n'a qu'une importance très relative).
Dernière modification par Médiat ; 18/01/2009 à 19h59.
Je suis Charlie.
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