theoreme des segments emboités et bolzano

[invitea34c6e6a]

salut !
j'ai un serieux probleme au niveau de la demonstration du theoreme de bolzano-wierstrass ! bon pour le theoreme des segments emboites c'est compris mais pour bolzano-wierstrass j'arrive pas a comprendre la relation entre les deux theoremes comment peut on etre sur que cette sous suite existe ??
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[KerLannais]

Salut,

On est sûr que cette sous-suite existe parce qu'on la construit par récurrence. En fait si tu t'amuse à prendre une suite par exemple

qui a ses valeurs contenues dans et que tu suis la construction, tu peut construire une sous-suite à la main (il n'y en a pas qu'une seule possible). Enfin en tout cas les premiers termes. Peut-être que comme ça tu arriveras à te convaincre de l'existence d'une sous-suite et comprendre l'idée de sa construction.

Est-ce que on te demande en exo de montrer Bolzano avec comme seule indication d'utiliser le théorème des segments emboités ou est-ce que tu n'as pas compris une démonstration de Bolzano?

[invitea34c6e6a]

salut ! tout d'abord merci pour ton passage !
effectivement je n'ai pas compris la demonstration du theoreme

[KerLannais]

Re

Pourtant l'idée de la construction est simple, tu découpe ton segment de travail en deux à chaque fois et tu prend comme nouveau segment une des deux moitiés, en faisant attention que ton nouveau segment contienne toujours une infinité de termes de la suite pour pouvoir continuer indéfiniment le procédé (c'est toujours possible puisque une infinité de termes de la suite est répartie entre les deux moitiés, il y a donc au moins une moitié de segment qui contient une infinité de termes. C'est comme si tu voulais ranger une infinité de paires de chaussettes dans deux tiroirs, il y en aurait forcément un qui contiendra une infinité de chaussettes). Tu construit ainsi une suite de segments emboités, chacun de ces segments contenant une infinité de valeurs de la suite. En particulier, dans chaque segment tu peux donc extraire une valeur de la suite afin d'obtenir une suite extraite qui converge nécessairement dans l'intersection des segments emboités (qui est singleton d'après le théorème des segments emboités).

Par exemple, dans le cas de , les termes se répartissent de façon dense dans de sorte que tout segment avec contient une infinité de termes. De sorte qu'on peut choisir n'importe laquelle des deux moitiés à chaque étape de la construction. Ainsi on peut obtenir une suite extraite qui converge vers n'importe quel nombre réel de qu'on a fixé à l'avance. Par exemple, si on choisit à chaque fois la première moitié on obtiendra une suite qui converge vers .

Dis moi ce qui te gène exactement dans ce raisonnement je pourrai détailler

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea34c6e6a]

merci ! maintenant j'ai compris ce qui me genait c'etait le fait que je croyais qu'il existait une seule suite convergente mais il s'est averé que c'est nous qui la creent !! merci kerlannais c'est vraiment gentil de votre part

[invitea0b22930]

en faisant attention que ton nouveau segment contienne toujours une infinité de termes de la suite pour pouvoir continuer indéfiniment le procédé

Pour être plus exact: les u_n pour une infinité de valeurs de n (ces u_n pouvant être en nombre fini). Sinon que dire de la suite alternée (-1)^n ?

[invitea34c6e6a]

salut abouantoun !
je pense que il existe une infinieté de termes et pas de valeurs ! donc pour le segment [0,1] il existe U2 U4 U6 meme si ils sont egaux !
ce que j'ai dis c'est ce qeu j'ai compris il peut etre faux

[invitea0b22930]

je pense que il existe une infinieté de termes et pas de valeurs ! donc pour le segment [0,1] il existe U2 U4 U6 meme si ils sont egaux !
ce que j'ai dis c'est ce qeu j'ai compris il peut etre faux

Oui c'est exactement ça !