Th segments emboités => suites adjacentes ?

[invitefc60305c]

Bonsoir.
J'ai une question sur un point dans une démo du TVI, que j'ai aussi retrouvé dans une demo du th de Bolzano.

On veut démontrer le tvi (Il existe c dans [a,b] tel que f(c) = d)

Dem :

Supposons f(a) < f(b)
Soit u le milieu de [a,b]
Notons a1 = a et b1 = u si f(u) > d
Notons a1 = u et b1 = b si f(u) < d
Ainsi, on a toujours f(a1) < d < f(b1)
En réitérant ce procédé, on construit par récurrence une suite de segments emboîtés : [an,bn] C ... C [a1,b1] C [a,b]
La longueur de [an,bn] vaut
Les segments [an,bn] ont donc des longueurs qui tendent vers 0.
Les suites (an) et (bn) sont donc adjacentes.
etc...

Je ne comprends pas très bien pourquoi (an) et (bn) sont adjacentes.
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[invite4ef352d8]

Bonsoir !

Et bien, vu que [An,Bn] est inclu dans [An-1,Bn-1] on en déduit que An est croissante et que Bn est décroissante, et comme la longeur des segment qui vaut Bn-An = (b-a)/2^n tend vers 0, les suites sont bien adjacente. qu'elle point te gène ?

[invitefc60305c]

Mais on peut très bien avoir B_n-1 = B_n et A_n-1 < A_n
De telle sorte qu'une extrémité du segment reste fixe tandis que l'autre se rapproche.

[invite4ef352d8]

Oui bien sur. mais les suites An et Bn ont pas besoins d'être strictement croissante, croissante suffit.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefc60305c]

Ah d'accord. Merci beaucoup.