Valeurs et vecteurs propres d'une matrice 2n*2n

[invitea2009556]

Bonjour,

dans le cadre d'un projet d'analyse numérique, on me demande un calcul de valeurs propres et de vecteurs propres.
On étudie tout d'abord une matrice tridiagonale T de taille n*n telle que:

j'ai trouvé que les valeurs propres valaient

et les vecteurs propres


On considère ensuite la matrice 2n*2n
R=(0 I)
__(T 0)
avec I la matrice identité de taille n*n et T la matrice définie précédemment. On doit calculer les valeurs et vecteurs propres de R. J'ai essayé mais j'aboutis à Lambda(valeur propre)=+-Racine(a) ce qui me semble incorrect.

Pourriez vous m'aider s'il vous plait? Je vous remercie d'avance.

Claire
-----

[invitead1578fb]

Je te propose quelque chose qui vaut ce qu'il vaut

Soit X un vecteur propre X=(X1;X2;...;X2n)

alors RX = lambda X

comme ta matrice est simple tu vois (en posant le produit matriciel , pas besoin de calcul en fait ) ke Xi = X(i+n) , et que comme par hasard les xi pour i de 1 à n sont les memes que ceux ke tu as trouvés précedemment.

qu en penses tu ?

[invitead1578fb]

rectification : en faisant la regle de Sarrius pour calculer le polynome caracteristique je trouve produit des (a-lambda) donc il existe une vp égalle à a de multiplicité n . ce que l'on vérifie car det(T)=a^n=produit des valeurs propres ... non ?

[invitea2009556]

Merci pour tes réponses!

J'avais également trouvé la relation -lambda^2n+a^n mais une fois que j'ai ça, je trouve des valeurs propres non distinctes donc la matrice n'est pas diagonalisable et donc je n'arrive pas à trouver de vecteurs propres...
Alors que pour moi, il devrait y avoir les n identiques à ceux que j'ai trouvé précédemment et n autres...

Une idée de piste vers quoi chercher?? Ou j'ai rien compris et je suis à l'ouest??!! Merci!

Claire

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitead1578fb]

n'oublie pas qu'une matrice non diagonalisable admet évidemment des valeurs et des vecteurs propres. je te conseille de faire la recherche de ker(T-lambda In) pour trouver tes vecteurs propres. (dis moi si tu veux des précisions)

en gros tu fais T-a In et à première vue tu trouves n vecteurs générateurs du ker, qui sont tes vecteurs propres... quoique , non sinon T serait diagonalisable donc tu trouveras moins de n vecteurs propres associé à a .

bonne soiree/journee/aprem'

[God's Breath]

On considère ensuite la matrice 2n*2n
R=(0 I)
__(T 0)
avec I la matrice identité de taille n*n et T la matrice définie précédemment. On doit calculer les valeurs et vecteurs propres de R.

Si est une colonne de taille , on a si, et seulement si
, soit , d'où le calcul des éléments propres de en fonction de ceux de .