Suites adjacentes.

**neokiller007** · 15/03/2008, 21h43

Salut,

u et v sont les suites définies par tout entier n $\text{[math]}$ 1
par $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Je dois démontrer que u et v sont adjacentes.
Mais le problème c'est que u et v sont croissantes donc elles ne peuvent pas êtres adjacentes.

Démonstration:
$\text{[math]}$ et n $\text{[math]}$ 1 donc n+1 $\text{[math]}$ 2 donc $\text{[math]}$ >0 => $\text{[math]}$

$\text{[math]}$
Donc $\text{[math]}$ >0 donc $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$

De plus à la question suivante on me demande: Déduire que u et v convergent vers une même limite.
Mais pour démontrer que u et v sont adjacentes, il faut aussi démontrer qu'elles convergent vers une même limite, donc la question est redondante.

Merci de m'expliquer mon erreur ou alors de confirmer que l'énoncé est éroné...

**Cassano** · 15/03/2008, 21h49

Non je vois pas d'erreur dans l'énoncé. Deux suites peuvent êtres croissantes et adjacentes... ils suffit qu'elles tendent vers une même limite. Hors ici t'a une suite qui est la somme des 1/n! et une autre qu'il est la somme des 1/n! (donc la même) plus 1/n!. Or pour n grand, 1/n! est négligeable, et donc les suites ont même limite...

**neokiller007** · 15/03/2008, 22h05

Ah, donc il y a une erreur dans mon cours.
Mon prof nous a dit que deux limites sont adjacentes si et seulement si l'une est croissante, l'autre est décroissante et que la différence de leurs limite quand n tend vers l'infini égale zéro.

Donc la deuxième question est redondante?

**Cassano** · 15/03/2008, 22h17

Non en fait ca doit etre ca désolé. Je sais plus ne fait, ca fait longtemps que j'ai pas fait ca lol. Ce qui est sur c'est que apr critères de compraison elles ont même limite... apres les critères pour qu'elle soietn adjacentes ... j'avoue que je me rapelle plus

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**neokiller007** · 15/03/2008, 22h18

Sinon pour les limites j'ai trouvées que les deux divergent vers l'infini, donc elles ne sont pas adjacentes...

Démo:
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

et
$\text{[math]}$

Edit: j'attend l'avis de quelqu'un qui sait ce qu'est une suite adjacente.

**Hamb** · 15/03/2008, 23h21

je ne sais pas d'ou tu sors ton expression de u(n), mais en tout cas c'est faux, car cette suite est convergente ^^
En effet il y a une erreur dans ton énoncé apparement, essaye plutot avec la suite $\text{[math]}$

**neokiller007** · 15/03/2008, 23h27

Ben de la formule nombre de termes(premier terme + dernier terme)/2.
C'est faux parce que c'est pas une suite arithémtiques, c'est ça?

Heu la suite que tu me donnes est également croissante...

**Hamb** · 16/03/2008, 00h17

non en effet ce n'est pas une suite arithmétique.
Et la suite que je t'ai donnée n'est pas croissante.

**neokiller007** · 16/03/2008, 08h47

Je viens de voir qu'il n'y a en fait pas d'erreur dabs l'énoncé, v est bien décroissante.
D'où vient l'erreur de ma démonstration?

**neokiller007** · 16/03/2008, 08h53

J'ai refais la démonstration, je trouve:
$\text{[math]}$
Or n $\text{[math]}$ 0
Donc $\text{[math]}$ est du signe de n!-(n+1)!.
Or (n+1)!>n! => n!-(n+1)! <0
C'est juste?

Par contre je vois pas comment je peux calculer les limites...

**Flyingsquirrel** · 16/03/2008, 09h00

'lut

Le 2 n'est pas en facteur de n! et de (n+1)! mais juste de n!: $\text{[math]}$ donc il faut comparer 2n! et (n+1)!.

Sinon, au lieu de tout mettre sur n!(n+1)!, il est plus simple de choisir (n+1)!=(n+1)n! comme dénominateur commun :
$\text{[math]}$

**neokiller007** · 16/03/2008, 09h12

Envoyé par Flyingsquirrel

'lut

Le 2 n'est pas en facteur de n! et de (n+1)! mais juste de n!

oups effectivement.

Envoyé par Flyingsquirrel

Sinon, au lieu de tout mettre sur n!(n+1)!, il est plus simple de choisir (n+1)!=(n+1)n! comme dénominateur commun :

Bien vu.

Donc $\text{[math]}$ => $\text{[math]}$ => $\text{[math]}$
Ca marche.

Sinon pour la limite, une idée?

**Flyingsquirrel** · 16/03/2008, 09h24

Non, pas d'idée. L'exercice te demande vraiment de conclure sur la valeur de la limite uniquement à partir de ce que tu as fait plus haut ? Parce que ça n'a pas l'air "évident" comme question. (m'enfin je ne suis pas à l'abris d'avoir raté un truc

)

**God's Breath** · 16/03/2008, 09h29

Envoyé par neokiller007

u et v sont les suites définies par tout entier n $\text{[math]}$ 1
par $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Je dois démontrer que u et v sont adjacentes.

Il y a visiblement une erreur d'énoncé. On obtient bien des suites adjacentes, mais avec $\text{[math]}$ .
Quant à expliciter leur limite commune, c'est un autre problème...

**neokiller007** · 16/03/2008, 09h45

Envoyé par Flyingsquirrel

Non, pas d'idée. L'exercice te demande vraiment de conclure sur la valeur de la limite uniquement à partir de ce que tu as fait plus haut ? Parce que ça n'a pas l'air "évident" comme question. (m'enfin je ne suis pas à l'abris d'avoir raté un truc

)

Ben la première question c'est démontrer que les suites sont adjacentes (donc il faut forcément trouver leurs limites)
Et la deuxième c'est déduire que u et v convergent vers une même limite (ce qui est bizarre...)

Envoyé par God's Breath

Il y a visiblement une erreur d'énoncé. On obtient bien des suites adjacentes, mais avec $\text{[math]}$ .
Quant à expliciter leur limite commune, c'est un autre problème...

A la calculatrice je les vois adjacentes moi.

**Flyingsquirrel** · 16/03/2008, 09h48

Non, pour montrer que deux suites sont adjacentes il suffit de montrer qu'elles ont la même limite donc que (u_n-v_n) est de limite nulle en l'infini. Il n'y a pas besoin de connaître la valeur de la limite de chaque suite.

**God's Breath** · 16/03/2008, 10h00

Envoyé par Flyingsquirrel

Non, pour montrer que deux suites sont adjacentes il suffit de montrer qu'elles ont la même limite donc que (u_n-v_n) est de limite nulle en l'infini. Il n'y a pas besoin de connaître la valeur de la limite de chaque suite.

Au risque de me répéter, il y a une erreur d'énoncé.

Les suites proposées ont bien même limite... mais sont toutes deux croissantes donc ne sont pas adjacentes, vous pourrez en dicuter pendant des jours, vous ne changerez pas ce fait.

**neokiller007** · 16/03/2008, 10h01

Ah d'accord, donc facile:
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
Donc u et v son adjacentes.
Elles convergent donc vers une même limite.
et pour trouver cette limite... je vois pas.

**neokiller007** · 16/03/2008, 10h02

Envoyé par God's Breath

Au risque de me répéter, il y a une erreur d'énoncé.

Les suites proposées ont bien même limite... mais sont toutes deux croissantes donc ne sont pas adjacentes, vous pourrez en dicuter pendant des jours, vous ne changerez pas ce fait.

J'ai démontré que v était décroissante...
Et ma calculatrice est d'accord.

**God's Breath** · 16/03/2008, 10h07

Envoyé par neokiller007

Démonstration:
$\text{[math]}$ et n $\text{[math]}$ 1 donc n+1 $\text{[math]}$ 2 donc $\text{[math]}$ >0 => $\text{[math]}$

$\text{[math]}$
Donc $\text{[math]}$ >0 donc $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$

Il me semblait avoir lu que les suites toutes deux étaient croissantes...

Une suite u croissante, une suite v décroissante, dont la différence u-v est de limite nulle, sont par définition adjacentes. Elles convergent, et ont même limite ; laquelle limite n'est pas toujours calculable explicitement.

**neokiller007** · 16/03/2008, 10h33

Envoyé par God's Breath

Il me semblait avoir lu que les suites toutes deux étaient croissantes...

C'est ce que je croyais au début mais en fait non.

Envoyé par God's Breath

Une suite u croissante, une suite v décroissante, dont la différence u-v est de limite nulle, sont par définition adjacentes. Elles convergent, et ont même limite ; laquelle limite n'est pas toujours calculable explicitement.

Oui, mais on me demande pourtant d'en déduire la limite.

Edit: en fait non, la question est: En déduire que u et v convergent vers une même limite.
Mais ça on l'a déjà montrer pour prouver que les suites sont adjacentes, je comprend pas...

**Flyingsquirrel** · 16/03/2008, 10h59

Ce que l'on a prouvé c'est que (u_n-v_n) est de limite nulle en l'infini, il reste à montrer que ça implique que (u_n) et (v_n) ont la même limite. Pour ça tu peux :
_ soit étudier tous les cas : (u_n) et (v_n) ont des limites finies, (u_n) a une limite finie et (v_n) une limite infinie...
_ soit prouver que (u_n) et (v_n) ont une limite finie et montrer l'implication dans ce cas là uniquement.

**God's Breath** · 16/03/2008, 11h00

Envoyé par neokiller007

C'est ce que je croyais au début mais en fait non.

Je n'avais pas lu tous les messages intermédiaires...

Envoyé par neokiller007

en fait non, la question est: En déduire que u et v convergent vers une même limite.
Mais ça on l'a déjà montrer pour prouver que les suites sont adjacentes, je comprend pas...

Tu raisonnes "à l'envers".
Tu montres
1. pour tout entier $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , donc la suite $\text{[math]}$ est (strictement) croissante ;
2. pour tout entier $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , donc la suite $\text{[math]}$ est (strictement) décroissante ;
3. pour tout entier $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , donc la différence $\text{[math]}$ est de limite nulle.

Tu établis ainsi que les suites sont adjacentes (c'est la définition), sans parler de leur convergence éventuelle.
Tu en déduis qu'elles sont convergentes, et qu'elles ont une limite commune (c'est un théorème).

Ensuite, cette limite est la constante d'Euler $\text{[math]}$ , mais je ne pense pas qu'on puisse l'établir aisément au niveau lycée.

**neokiller007** · 16/03/2008, 11h30

D'accord, merci.

**Hamb** · 16/03/2008, 12h53

c'est juste un détail mais je crois bien que c ette somme converge vers e-1 et non pas e

ps : ca me turlupine que la suite v(n) soit définie comme ca alors que quand j'avais fait cet exercice la suite était $\text{[math]}$ quelqu'un saurait pourquoi d'habitude on prend cette suite la ?

**God's Breath** · 16/03/2008, 13h50

Envoyé par Hamb

c'est juste un détail mais je crois bien que c ette somme converge vers e-1 et non pas e

ps : ca me turlupine que la suite v(n) soit définie comme ca alors que quand j'avais fait cet exercice la suite était $\text{[math]}$ quelqu'un saurait pourquoi d'habitude on prend cette suite la ?

Le classique est l'étude des suites $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ qui convergent vers $\text{[math]}$ .

Ici, avec $\text{[math]}$ , la limite est effectivement $\text{[math]}$ .

Le fait de prendre usuellement le term correctif $\text{[math]}$ au lieu de $\text{[math]}$ permet d'avoir un meilleur encadrement de la limite, par exemple pour montrer qu'elle est irrationnelle.

**Hamb** · 16/03/2008, 16h38

d'accord merci pour cette precision

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