Raisonnement par reccurence

[Johnsguy]

Bonjour tout le monde ~!

J'ai besoin d'une aide à propos d'un exercice qui concerne la raisonnement par réccurence.

Je suis bloquer à cette exercice qui fait que la suite de l'exercice je ne peux pas continuer. J'ai eu toujours du mal avec la suite c'est pourquoi je suis pas doué pour la raisonnement par reccurence.

Voici l'exercice :

Partie II : soit U0 = 1/e et pour tout n appartient N : Un+1 = Une(1-Un).

1) on définit la fonction f sur R par f(x) = xe(1-x)
Etablir le tableau de variation de f avec leurs limites et precisew f(0)

J'ai réussi .

2) Etudier le signe de f(x)-x

J'ai reussi. C'est négative.

3) Prouver par reccurence que pour tout n appartient N on a Un appartient [0;1].

J'ai commence par initialisation : Soit P(0) = U0 = 1/e qui est compris dans [0;1] donc P(n) est vraie.

Héredite : On suppose pour tout n appartient N que P(n) est vraie. On démontre qu'alors P(n+1) est vraie aussi.

P(n+1) = Un+1 = Une(1-Un)

Je ne sais pas quoi faire ... aidez moi s'il vous plait
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[invite1237a629]

Salut,

Tu sais que Un appartient à [0;1]

Un+1 c'est f(Un)
Ca revient à montrer que si x appartient à [0;1], f(x) appartient à [0;1]

Donc là tu peux faire ton rapprochement entre la question 1 et la récurrence (normalement )


Au fait, ta notation P(n+1) n'est pas très correcte, si j'ai bien compris ce qu'elle signifiait.

[Johnsguy]

donc si je suis tes conseils ça donne :

x appartient R donc x appartient [0:1]

De plus d'après la question 1) on sait que f(0) = 0 et f(1) = 1 Donc pour tout x appartient [0:1] f(x) appartient [0:1].

Donc on reporte cette solution en remplaçant x par Un .

C'est bien ça ? *

sinon pour P(n+1) enfaite d'habitude je commence à définir par P(n) : Un=....
Mais dans cette question on commence tout de suite par Un+1 donc je pouvais pas préciser c'est quoi P(n) (P= propriété)

[invite1237a629]

Ben vi, P(n) : Un est compris entre 0 et 1.

x appartient R donc x appartient [0:1]

Bin à quoi sert cette phrase ? En plus, c'est l'inverse : si x appartient à [0;1] alors ...

De plus d'après la question 1) on sait que f(0) = 0 et f(1) = 1 Donc pour tout x appartient [0:1] f(x) appartient [0:1].

Pour ça, il faut que la fonction soit strictement croissante sur l'intervalle

Donc on reporte cette solution en remplaçant x par Un .

Pô vraiment ^^







Bon, en fait, mes conseils débutaient à partir du moment où tu as posé ton hypothèse de récurrence (Un appartient à [0;1]).
Une fois posée, tu sais que tu dois montrer P(n+1), ce qui revient à montrer que Un+1 est entre 0 et 1.

Or, Un+1 = f(Un).
On sait que Un appartient à [0;1] et on a montré (enfin tu dois le rédiger et ça correspond à la deuxième citation que j'ai faite plus haut + l'info manquante) que pour tout x dans [0;1], f(x) est dans [0;1].
Donc Un+1 est dans [0;1].

[A voir en vidéo sur Futura]