Le raisonnement par récurrence.

[invitea250c65c]

Bonsoir a tous,

Alors voila, sur le site des olympiades de mathématiques, dans le cours sur le raisonnement par récurrence, j'ai trouvé cet exercice (non corrigé):

"On définit To=0 et, pour tout n, on pose Tn=T_n-1+n. Les nombres sont appelés nombres triangulaires (pourquoi ?). Montrer que, pour tout n, on a ."

En fait je ne vois pas trop ce que représente . Je n'ai pas encore vu les suites (je le verrai a la fin de l'année), et donc j'aimerai m'y mettre, donc si vous pouviez juste m'aider un peu pour commencer, je suis preneur .
Apres j'immagine qu'il doit etre possible de montrer pas mal de choses avec ce principe, mais j'aimerai avoir au moins un exemple de la chose histoire de voir le principe.

Merci d'avance.
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[invite78bdfa83]

en fait c'est un calcul ""petit a petit""
La formule T0=0 et Tn=Tn-1+n signifie que tu calcule Tn en fonction de celui qui précede, regardons les premiers termes de la suite:
T0=0,
T1=T0+1=1
T2=T1+2=1+2=3
T3=T2+3=3+3=6
T4=T3+4=6+4=10
La formule Tn=n(n+1)/2 est une formule générale qui permet de calculer Tn pour un n qq quelquonque:
par exemple si on calcule T4=4*5/2=10: on retrouve le résultat précédent ! ! !ce que l'on te demande de prouver ( ce qui jai fait pour n=1,2,3,4 ) c'est de calculer directement Tn sans passer par le calcul de ceux qui précede.

[invitec053041c]

Oui voilà, c'est exactement ce qu'a dit dajety.
Déjà, vu que tu n'as pas vu les suites, il est bon de rappeler qu'une suite est une fonction définie sur les entiers naturels (ou une partie).

Bref, ta relation relie l'étape (n-1) à l'étape suivante n. On dit que cette relation est une relation de récurrence.

Mais tu vois bien que cette relation n'est pas très commode! car si je te demande de me dire combien vaut , eh bien tu seras contraint de me calculer les 36 premiers termes!

Alors que l'expression qu'on te propose, relie directement à n, sans passer par les (n-1) termes précédents.
On dit que l'on a le terme général de la suite.

Et maintenant, calculer devient un jeu d'enfant:

Imagine que c'est quand même Gauss qui a trouvé cette petite formule alors qu'il était encore à l'école!
Pour la petite anecdote,leur instit voulait qu'ils calculent la somme des 100 premiers nombres, pas à pas , c'est à dire de la premiere façon ; et Gauss a trouvé le terme général de la suite et a pour ainsi dire épaté son professeur, il promettait!

[Calvert]

Bonjour!

D'ailleurs, on peut voir une "démonstration" géométrique de cette formule.
La somme des n premier entier est en fait le nombre de points compris dans un triangle du genre (pour n=4):

x
xx
xxx
xxxx


En inversant ce triangle, et en le "collant" sur celui ci-dessus:

xxxx
.xxx
..xx
...x
x
xx
xxx
xxxx


on obtient finalement le rectangle:

xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx

qui contient n(n+1) points.
Comme le nombre qui nous intéresse est le nombre de point contenu dans un seul triangle, on trouve

T_n=n(n+1)/2

Mais c'est moins joli que par récurrence...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Comme tu veux un exemple, je te montre comment démontrer ta propriété par récurrence.
3 étapes (obligatoires, ne pas zapper la 1ere surtout!)

Initialisation: Donc ta propriété est vraie au rang 0.

Hypothèse de récurrence: à un rang (n), on suppose que la propriété est vraie, c'est à dire qu'à ce rang on a bien:

Hérédité: on veut montrer que la propriété est vraie au rang d'après: au rang (n+1), c'est-à-dire qu'on aimerait trouver que


Or on a : (d'après la définition qu'on te donne de Tn).
donc en utilisant l'hypothèse de récurrence pour
On obtient: Donc la propriété est vérifiée au rang suivant.

On a donc démontré par récurrence que pour tout entier n, la propriété est vraie!

[invitec053041c]

Non calvert, je ne suis pas d'accord avec toi...je trouve que le raisonnement par récurrence est bien, mais si l'on peut s'en passer c'est mieux.Car il faut bien avoir trouvé la formule par un autre moyen.Le raisonnement ne permet en soi de trouver aucune formule.
Sinon je connaissais ta démonstration avec des n,(n-1) etc..:

A=1 + 2+ ... +(n-1)+n
A=n+(n-1) +...+ 2 +1
on voit tout de suite que 2A=(n+1).n
D'où la formule.

[Calvert]

C'est vrai, c'est un peu la même démarche que mes "triangles", mais exprimés sous une forme plus mathématique, finalement.

je trouve que le raisonnement par récurrence est bien, mais si l'on peut s'en passer c'est mieux.

C'était juste pour l'aspect "esthétique" de la récurrence, que je trouve joli, que j'avais fait ma dernière remarque.

[invitec053041c]

D'accord!
Pour ma part, j'ai toujours trouvé les récurrences lourdes...

[invite9c9b9968]

On peut avoir l'intuition un résultat puis le démontrer par récurrence

On l'a trouvé de façon absolument pas rigoureuse, puis on peut l'asseoir sur une base rigoureuse à l'aide de la récurrence

[invitec053041c]

Oui voilà c'est bien ce que je dis, il faut souvent beaucoup intuiter avant