raisonnement par récurrence , SVP !

[invite492114f6]

Bonjour !

J'ai 2 gros pbl avec 2 exo sur les suites et le raisonnement pas récurrences:

1) soit U0=1 U(n+1)= racine de (4 U(n)+5)
Montrer que pour tt n de N 1<(ou égal)Un<5

a) j'ai fait : P(0)=1 1<1<5 1<p(0)<5
donc p(0) est vraie
b) supposons p(0) vraie càd : 1<P(n)<5

1+1<P(n+1)<5+1

2< racine de 4 P(n)+5 < 6

d'un autre cote j'ai fait : U(0+1)=racine de (4Uo +5)
U1=racine de (4*1+5)
U1=3

et là , je ne sais plus que faire ....


et puis il y a l'autre exo ou je ne sais pa sdu tout comment demontrer des le debut que U0 est vraie :

2) U0=0 et U(n+1)=racine de (U(n) +1) il n'y a que ça et auxune autre consigne.




Est-ce que vous pourriez m'aider s'il vous plait ? ? ? c'est pour demain ...et je desespère .... Merci bcp bcp d'avance !!!
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[invitef00e1df0]

Salut,

Uo=1
U(n+1)=SQRT(4Un + 5) (SQRT = racine carrée)

Montrons que 1<= Un <5 pout tout n appartenant à N:
Soit Pn la proposition: 1<= Un <5

Uo=1 appartient à I =[1,5[ donc Po est vraie
Supposons que Pn est vraie et montrons que Pn+1 l'est aussi:
Hypothèse de récurrence : 1<= Un <5

1) U(n+1) = SQRT(4Un+5) < SQRT(4*5 +5) (fonction SQRT croissante)
<=> U(n+1) < 5
2) SQRT(4*1 +5) = 3 <= U(n+1)

Donc par récurrence 1<= Un <5 pour tout n entier naturel.

Pour ton deuxième exo tu donnes la définition de la suite mais pas l'exo...

@+

[invite980a875f]

Salut,
voilà:
U0=1 et U(n+1)=sqrt(4Un + 5).
On veut montrer, pour tout n, que:
1=<Un<5
Pour U0, ça vient tout de suite et tu l'as toi-même trouvé.
Supposons que ça marche pour n, c'est-à-dire que 1=<Un<5
Alors:
4=<4Un<20
9=<4Un + 5<25
3=<sqrt(4 Un + 5)<5
3>1, donc:
1=<sqrt(4Un + 5)<5
1=<U(n+1)<5

C'est vrai pour 0, si c'est vrai pour n, c'est vrai pour n+1, c'est donc vrai pour tout n.
Voilà.
Au fait, sqrt = racine carrée.
Si il n'y a pas de question dans l'exo 2, on ne peut rien faire...

[invite492114f6]

Merci beaucoup !
Pour le deuxieme exo , en fait je n'ai pas mon livre donc le prof nous a donner juste les données que j'ai indiquées plus haut; je suppose qu'il faut demontrer que p(n+1) est vraie , mais voilà comme il n'y a pas d'autres consignes ni expliquation .....je me sens un peu perdue ....
par ailleurs , pour l'exo 1 , il faut ensuite donner le sens de variation de Un , je fais le rapport de U(n+1) sur Un ? mais je prends quoi pour Un ?

bon, je vous remercie déjà beaucoup pour tout ! ça m'a déjà permis d'avancer !
Bonne soirée !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9e95248d]

oui c'est le rapport (des fois la différence, mais ici le rapport marche mieux) pour Un tu gardes juste....Un
C'est juste U(n+1) que tu remplaces par sa valeur en Un pour pouvoir simplifier

[invite492114f6]

et bien merci beaucoup pour tout !!

J'ai finalement reussi à m'en sortir avec votre aide à tous ! C'est vrai que en soit c'est pas bien compliqué mais bon , quand je suis devant ces exos ca .. malgré tout ...

Alors merci !!!!

à bientot !