Relations quadratiques de GAUSS

[Gabriel]

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer de quoi il sagit, avec 1 ou 2 exemples.
D'après l'article de vulgarisation où était inséré cette mention, GAUSS avait appelé son théorème le "théorème d'or" tellement il était fier d'être arrivé à ce résultat.
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[invite6d8e4836]

Bonjour,

Je pense qu'il s'agit de la Loi de Réciprocité Quadratique (LRQ)

Soient p et q premiers et différents de 2.

On pose (p/q) = 1 si p est un carré modulo q et -1 sinon.

On a:
(a/q)(b/q)=(ab/q)

Alors, la LRQ s'écrit:
(p/q)(q/p)=-1^(p-1)(q-1)/4

conjecturée par Legendre, elle fut démontrée par Gauss et sert à traiter les équations du second degré modulo p.

Elle montre que les propriétés de congruence modulo deux nombres premiers distincts sont liées.

Un exemple élégant (il n'est pas de moi!) [Samuel, théorie algébrique des nombres]:
Sachant que 59=13 mod 23, que 23=10 mod 13 etc...
On a:
(23/59)=-1^11*29 (59/23)=-(13/23)=-(-1^6*11 )(23/13)=-(10/13)=-(-3/13)=-(-1/13)(3/13)=-1⁶ (3/13)=-(-1⁶ )(13/3)=-(1/3)=-1
donc 23 n'est pas un carré modulo 29

j'espère qu'il n'y a pas de faute de frappe. Le résultat est juste et on illustre ici la méthode.

Amicalement
JM

[invite6d8e4836]

donc 23 n'est pas un carré modulo 29
Je voulais dire modulo 59, on l'aura compris

JM

[Gabriel]

Merci Jean-Marie pour tes explications et ton exemple.
Est-ce que la relation quadratique de Gauss peut être étendue pour les ensembles non-abéliens (programme de LANGLAND) ?

Question personnelle : J'ai l'impression qu'il y a un lien entre une égalité modulo n et les courbes fractales.
Ton avis ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8f53295a]

Oui il y a une analogie avec le programme de Langlands mais ce dernier est autrement plus compliqué et encore en partie à l'état de conjectures.