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Relations quadratiques de GAUSS



  1. #1
    Gabriel

    Arrow Relations quadratiques de GAUSS


    ------

    Quelqu'un pourrait-il m'expliquer de quoi il sagit, avec 1 ou 2 exemples.
    D'après l'article de vulgarisation où était inséré cette mention, GAUSS avait appelé son théorème le "théorème d'or" tellement il était fier d'être arrivé à ce résultat.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    invite76

    Re : Relations quadratiques de GAUSS

    Bonjour,

    Je pense qu'il s'agit de la Loi de Réciprocité Quadratique (LRQ)

    Soient p et q premiers et différents de 2.

    On pose (p/q) = 1 si p est un carré modulo q et -1 sinon.

    On a:
    (a/q)(b/q)=(ab/q)

    Alors, la LRQ s'écrit:
    (p/q)(q/p)=-1(p-1)(q-1)/4

    conjecturée par Legendre, elle fut démontrée par Gauss et sert à traiter les équations du second degré modulo p.

    Elle montre que les propriétés de congruence modulo deux nombres premiers distincts sont liées.

    Un exemple élégant (il n'est pas de moi!) [Samuel, théorie algébrique des nombres]:
    Sachant que 59=13 mod 23, que 23=10 mod 13 etc...
    On a:
    (23/59)=-111*29 (59/23)=-(13/23)=-(-16*11 )(23/13)=-(10/13)=-(-3/13)=-(-1/13)(3/13)=-16 (3/13)=-(-16 )(13/3)=-(1/3)=-1
    donc 23 n'est pas un carré modulo 29

    j'espère qu'il n'y a pas de faute de frappe. Le résultat est juste et on illustre ici la méthode.

    Amicalement
    JM

  4. #3
    invite76

    Re : Relations quadratiques de GAUSS

    donc 23 n'est pas un carré modulo 29
    Je voulais dire modulo 59, on l'aura compris

    JM

  5. #4
    Gabriel

    Arrow Re : Relations quadratiques de GAUSS

    Merci Jean-Marie pour tes explications et ton exemple.
    Est-ce que la relation quadratique de Gauss peut être étendue pour les ensembles non-abéliens (programme de LANGLAND) ?

    Question personnelle : J'ai l'impression qu'il y a un lien entre une égalité modulo n et les courbes fractales.
    Ton avis ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    BS

    Re : Relations quadratiques de GAUSS

    Oui il y a une analogie avec le programme de Langlands mais ce dernier est autrement plus compliqué et encore en partie à l'état de conjectures.

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