Mouvement de particules

[invite7d37940a]

Dans le cadre d'un calcul de collisions, je cherche a transformer une suite en fonction.

La suite est la suivante :
v(0) = v0
v(t) = v(t-1) * f (friction < 1 , la suite converge)
p(0) = p0
p(t) = p(t-1) + v(t)

Je cherche donc la fonction exacte de p(t) , ou du moins s'approchant, dans le but de pouvoir résoudre le probleme "au bout de combien de temps a-t-on parcourru la distance d".

Mes souvenirs d'intégration étant lointains, je pensais pouvoir exprimer :
v(t) = v0 * f ^ t
p(t) = intégrale(x : 0 -> t, v(x)) + p0

Mais le résultat que j'obtiens :

p(t) = p0 + f^t / ln f
ne semble pas du tout correct... j'ai du oublier quelquechose

Merci de votre aide
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[invite9e95248d]

Salut ta fonction p(t) tu peux l'exprimé "facilement" comme



Ensuite comme tu l'as indiqué, et donc finalement on a:



Voila en considérant t entier sinon ça marche pas et il faut utiliser la fonction partie entière et ça complique le tout.

[invite7d37940a]

avec la formule que tu donnes j'ai p(2) = p0 + 2*v0*f^2 ce qui est différent de ce que je cherche a savoir p(2) = p0 + v0 + v0 * f ( ainsi que p(3) = p0 + v0 + v0*f + v0 *f ^ 2 ).

De plus , je cherche a résoudre le probleme pour des nombres flottants , car sinon je ne peut déterminer le temps mis pour parcourir une distance 'd' avec précision, ce qui m'interesse au plus haut point

[zoup1]

Il a l'air bizarre ce calcul de collision,

c'est quoi le problème physique que tu cherches à résoudre ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9e95248d]

hum grosse erreur de ma part ^^



en espérant ne pas me tromper cette fois ci

[invite7d37940a]

folky dans ce cas si je pose p0 = 0 et 0 < f < 1 , j'obtiens une fonction décroissante alors que je cherche une fonction strictement croissance mais qui converge.

les equations dont je suis certain sont les suivantes :

v(t') = v(t) * f ^ (t' - t)
p(t') = p(t) + v(t) * (t' - t)

avec v(0) = v0 et p(0) = p0 , ainsi que 0 < f < 1
Il s'agit d'un mouvement de particule avec friction f , normallement calculée dans une boucle iterative , d'où les deux equations çi-dessus. Je cherche à résoudre l'équation p(t) = D , c-a-d à trouver au bout de quel temps t (précis) j'ai parcouru la distance D (constante).

[invite7d37940a]

d'un autre coté il me semble que ces equations ne sont valables que pour un t' - t < epsilon car sinon je peut facilement simplifier :

p(t) = p0 + v0 * t * f ^ t

ce qui ne correspond pas à ce que je cherche (pas assez précis). En effet je cherche la fonction issue de la suite :

p(0) = p0
p(1) = p0 + v0 * f
p(2) = p0 + v0 * f + v0 * f ^ 2
p(3) = p0 + v0 * f + v0 * f ^ 2 + v0 * f ^ 3
...
p(n) = p(n-1) + v0 * f ^ n

[zoup1]

Excuse moi, mais généralement les équations du mouvement d'une particule ne sont pas discrètes...

Ce que je comprends (avec difficultées) des équations qui sont ci dessous c'est qu'on a une particule qui se déplace à vitesse constante v(t-1) pendant un temps de 1 puis qui subit une collision qui lui fait perdre une partie de sa vitesse v(t)=v(t-1) * f;
p(t) décris alors la position de la particule au temps t. (je viens de réaliser p comme position, bien sur !!!!).

Bref tu cherches cette expression de p(t). Exactement ou approximativement ?

C'est bien ça ?
Bizarre comme problème de physique, je ne vois pas bien à quoi cela peut correspondre.

[invite7d37940a]

il s'agit bien d'une série d'équation discretes pourtant
Je cherche p(t) de façon exacte car c'est seulement en l'inversant que je vais pouvoir résoudre p(t) = D . La valeur f de friction est constante, elle représente une diminution de l'énergie de la particule au cours du temps. Ainsi v(t) -> 0 et p(t) converge. Si il existe d'autres formules simulant le meme mouvement cela m'interesse bien entendu, j'ai peur que mon modèle soit simple itérativement (deux equations du post précedent) mais particulierement complexe à intégrer.

[invite7d37940a]

l'équation de v(t) si je ne m'abuse peut etre facilement intégrée en :
v(t) = v0 * f ^ t
et va bien suivre la suite :
v(t') = v(t) * f ^ (t' - t)
pour tout (t' - t)

Par contre pour p(t) là je trouve pas....

[zoup1]

C'est quoi physiquement la friction que tu introduis ??? Décris le système physique je te dirais si je suis d'accord avec la façon dont tu le modélises

[invite7d37940a]

physiquement je ne saurais dire
J'ai juste l'équation v(t) = v0 * f ^ t qui semble convenir à la simulation que je cherche à obtenir.
S'il existe d'autres fonction v(t) -> 0 quand t -> +oo et qui permettent d'avoir la meme courbure que f ^ t mais qui permettent de calculer facilement p(t) ca m'interesse.

[zoup1]

Bon, je pose la quesiton autrement,
qu'est ce que tu cherches à obtenir comme résultat de ta simulation ? Tu cherches à faire quelque chose qui représente le comportement de particules dans une expérience précise ? à partir de données expérimentales ?

[invite7d37940a]

Il s'agit du systeme disont de billes de billard. J'ai N billes dont je souhaite simuler les collisions entre elles et sur les bords, sachant qu'initialement j'applique une vitesse v0 à la bille touchée par la canne. A vitesse constante la simulation se passe tout a fait bien : les billes s'entrechoquent et la prédiction est facile. En effet pour ne pas recalculer tout le systeme à chaque fois je calcule le temps de la prochaine collision. Pour cela un peu de trigo me permet de calculer la distance à la prochaine collision, qu'actuellement je divise par la vitesse (constante) de la bille pour obtenir le temps écoulé pour obtenir cette collision. La seconde étape constite donc à rajouter une inertie à la bille de façon à ce qu'elle s'arrete par elle meme (les collisions se faisant sans perte d'energie). Mais pour garder le systeme prédictif des collisions il faut donc que je résolve p(t) = D. D'ou mon besoin d'exprimer p(t)

[zoup1]

Si on écrit ton expression pour la vitesse de façon continue on obtient :
dv = v(t)-v(t-dt) = v(t-dt)*(f-1)*dt (c'est la même que toi avec dt=1)
soit en faisant tendre dt vers 0 , on obtient après intégration, v(t)=vo*exp((f-1)*t)
Faire tendre dt vers 0 doit revenir à faire un grand nombre de collisions.

Pour avoir la position il suffit simplement d'intégrer et on obtient p(t) =po+vo/(f-1) * exp((f-1)*t - 1)

où

[invite7d37940a]

Ma fois cette fonction m'a l'air de converger comme je veut
Je testerai celà demain matin pour voir si j'ai les résultats escomptés.

[zoup1]

Je me suis trompé en retranscrivant l'expression :

où

C'est ce que l'on appelle un frottement visqueux, c'est le frottement que l'on observe associé aux écoulements de fluide autour d'un objet lorsque les vitesses ne sont pas trop élevées.

Cela devrait faire l'affaire dans le cas du billard, même si cela n'est pas très réaliste au moment de l'arrêt de la boule. mais bon!!!

[invite7d37940a]

Merci encore Si tu as de meilleures suggestions pour les equations du billard je t'écoute

(dans ta formule je pense que tu veut dire où a = (f - 1) , donc at = (f - 1)t )

[zoup1]

Oui bien sûr

je crois qu'il commence à se faire tard...

[invite7d37940a]

la solution était bien correcte !
En posant quelques informations supplémentaires
v0 = 1
p0 = 0

on obtiens la formule suivante :

p(t) = (exp(t(f-1)) - 1) / (exp (f - 1) - 1)

que l'on peut réecrire en :

p(t) = v0 * (f ^ t - 1) / (f - 1) + p0

Merci.