espaces quadratiques

[invitee75a2d43]

bonjour,

j´ai un problème de définition, je voudrais une toute petite précision:

Je lis: un espace quadratique est un espace vetoriel muni d´une forme bilinéaire symétrique non dégénérée.

J´en conclu que tout espace euclidien est un plan quadratique non?

La seule différence qui semble exister, c´est que le produit scalaire dont est muni un espace euclidien est défini positif, alors que dans une forme bilinéaire symétrique non dégénérée, rien n´est stipulé á ce niveau.

me goure-je?

merci d´avance

christophe
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[invitee75a2d43]

bonjour,

J´en conclu que tout espace euclidien est un plan quadratique non?


me goure-je?

merci d´avance

christophe

Pardon, petite correction: Je voulais évidement dire:

J´en conclu que tout espace euclidien est un espace quadratique.

[invite6de5f0ac]

bonjour,

j´ai un problème de définition, je voudrais une toute petite précision:

Je lis: un espace quadratique est un espace vetoriel muni d´une forme bilinéaire symétrique non dégénérée.

J´en conclu que tout espace euclidien est un plan quadratique non?

La seule différence qui semble exister, c´est que le produit scalaire dont est muni un espace euclidien est défini positif, alors que dans une forme bilinéaire symétrique non dégénérée, rien n´est stipulé á ce niveau.

me goure-je?

merci d´avance

christophe

Bonjour,

C'est bien ça. Il faut juste que la forme quadratique (ou bilinéaire, c'est équivalent) soit de rang maximum.
C'est avec le théorème de Sylvester qu'on s'y retrouve: en dimension 4 il y a les signatures possibles:
(++++) (définie positive, euclidien)
(+++-) hyperbolique, minkowskien
(++--) pas de nom à ma connaissance
(+---) hyperbolique, minkowskien (avec la convention de signe inverse)
(----) définie négative, antieuclidien.

Voilà.

-- françois

[invite8b04eba7]

Salut !

Eh, y'a pas que les réels dans la vie

Juste pour insister que le théorème de Sylvester n'est vrai que sur un espace vectoriel réel. Les espaces quadratiques, eux, sont en général des espaces vectoriels sur des corps quelconques (de caractéristique différente de 2 du moins).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6de5f0ac]

Salut !

Eh, y'a pas que les réels dans la vie

Juste pour insister que le théorème de Sylvester n'est vrai que sur un espace vectoriel réel. Les espaces quadratiques, eux, sont en général des espaces vectoriels sur des corps quelconques (de caractéristique différente de 2 du moins).

Bonjour,

Bin oui... Mais par exemple sur les complexes, il n'y a plus que le rang pour différencier les formes quadratiques. C'est bien plus rigolo avec les réels.

-- françois

[invite8b04eba7]

Moi je trouve que le plus rigolo, c'est sur le corps des rationnels : je crois d'ailleurs que c'est l'un des seul corps (autre que R, C (et autres corps quadratiquement clos) et les corps finis) où l'on sait classifier les formes quadratiques.

[invitee75a2d43]

ouh la la! C´est trop fort pour moi! Bon, je l´avais pas précisé, mais je me situe dans ma question dans les réels.

bon ben merci

Christophe

[invite6de5f0ac]

Moi je trouve que le plus rigolo, c'est sur le corps des rationnels : je crois d'ailleurs que c'est l'un des seul corps (autre que R, C (et autres corps quadratiquement clos) et les corps finis) où l'on sait classifier les formes quadratiques.

Bonsoir,

Oh comme il a raison!!!

JWS Cassels, "Rational Quadratic Forms", mais je ne l'ai pas à la maison, je ne connais donc pas l'éditeur... peut-être Springer? (je ne crois pas).

-- françois

[invite6de5f0ac]

JWS Cassels, "Rational Quadratic Forms", mais je ne l'ai pas à la maison, je ne connais donc pas l'éditeur... peut-être Springer? (je ne crois pas).

Bonjour,

C'est Academic Press, 1978.

-- françois