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Projection orthogonale d'un sous-espace de L²(R^d)



  1. #1
    neurone en panne

    Projection orthogonale d'un sous-espace de L²(R^d)


    ------

    Bonjour,

    Mon probleme est :
    Soit un sous-ensemble de R^d, et suppose que S est le sous-espace de L²(R^d) composé des fonctions qui s'annulent pour presque tout x de E.
    Montrer que la projection orthogonale P sur S est donnée par :
    P(f) = XE .f
    où XE est la fonction caractéristique de E.

    -----

  2. #2
    neurone en panne

    Re : Projection orthogonale d'un sous-espace de L²(R^d)

    Alors, je vois bien que P(f) = f si f appartient à S.
    Et que P(f) = 0 pour f appartenant au complement orthogonal S|- de S, et x n'appartenant pas à E (XE(x) = 0 annule le produit).
    Par contre, pour f appartenant au complement orthogonal S|- de S et x appartenant à E, je ne vois pas comment ça marche.

    Peut-être dois-je déterminer explicitement le complément orthogonal de S.
    Aussi, ne dois-je pas d'abord montrer que S est fermé pour que la somme directe de S et S|- soit effectivement égale à L²(R^d) ?

    Merci de votre aide.

  3. #3
    neurone en panne

    Re : Projection orthogonale d'un sous-espace de L²(R^d)

    Bon, pas d'idées ? Personne ?
    Est-ce que qqun sait comment je peux déterminer explicitement S|- ? Pour pouvoir l'utiliser dans le calcul de P(f) qd f appartient à S|-.
    Merci

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