dérivée n-ième

[invite9c69944f]

Bonjour,

Je suis en train de planter sur une partie d'un exercice.On considère la fct .
On souhaite montrer que :
où est un polynome.

Pour ce polynome, Pn, j'ai réussi à déterminer son degré et l'expression de son coefficient dominant en fct du degré de la dérivée (c'est-a-dire de n). Mais après je ne vois pas vraiment comment partir pour essayer de démontrer la formule...
Sans doute avec un raisonnement par récurrence, non?

Si quelqu'un pourrait me donner un petit coup de pouce pour démarrer ?
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[invite57a1e779]

Oui, on remarque que convient, puis on démontre par récurrence l'existence des polynômes en donnant l'expression de en fonction de .

[invite9c69944f]

Oui, mais par contre j'arrive à determiner seulement le coefficient de plus haut degré... Pour les autres coefficients du polynome je vois pas trop la logique entre eux. :
f^0(x) = ... avec P_0(x)=1
f^1(x) =... avec P_1(x)=1;
f^2(x) =... avec P_2(x)=2x+1;
........................P_3(x) =6x^2+6x+1;
........................P_4(x) =24x^3+36x^2+12x+1
........................P_5(x) =120x^4+240x^3+120x^2+20x+1
........................P_6(x) =720x^5+1800x^4+1200x^3+300x^2 +30x+1

On remarque qu'on a toujours ce 1 à la fin
que le polynome est de degré n-1
et que le coefficient dominant de P_n est a_n=a_(n-1)*n
mais pour ce qui est des coefficients "non-dominants" ....

[invite57a1e779]

Je ne pense pas qu'il soit demandé d'expliciter tous les coefficients des polynômes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c69944f]

Oui, on remarque que convient, puis on démontre par récurrence l'existence des polynômes en donnant l'expression de en fonction de .

Comment donner l'expression de en fonction de alors??

[invite9c69944f]

Le souffle de Dieu s'est arreté??

Quelqu'un pourrait me filer un chtit petit coup de main?
Je me suis décidé sur le raisonnement par récurrence puis je vais dire que la dérivée (n+1)ième c'est la dérivée de la dérivée nième mais comment exprimer ce polynome ???

[invite57a1e779]

Il suffit de dériver et de mettre le résultat sous la forme .

[invitec317278e]

en dérivant avec l'expression que tu as donné dans le premier message, puis en nommant "" ce qui doit l'être pour retomber sur une formule semblable, vraisemblablement (je n'ai pas fait le calcul)

Edit : grillé , ça faisait longtemps, God's Breath

[invite9c69944f]

Bonsoir,

désolé pour l'absence...
Lorsque vous dites de nommer P_n+1(x) ce qui doit l'etre, je peux nommer n'importe quoi comme ca??
Parce j'ai dériver l'expression que l'on a tout en haut et je l'ai écrit sous la forme trucmuche avec des n-1 au lieu des n et j'ai posé : .
Est-ce que c'est bon?

[invitec317278e]

à vue d'oeil, je suis pas persuadé que ton nouveau polynôme soit effectivement un polynôme, ou alors, il faut le montrer, parce que là, c'est sous la forme d'une fraction rationnelle

[invite9c69944f]

c'est vrai...

Bon il se fait malheureusement l'heure de se coucher.
Je reverrai ca demain pendant la journée.
Meme si j'ai pas encore trouvé, merci pour l'aide jusqu'à maintenant en tout cas!