Dérivée n-ième de e^(-1/x)

[invite3ef08487]

Bonjour à tous! Voilà je dois trouver la dérivée n-ème de e^(-1/x) et j'arrive pas :s
en gros pour l'instant je trouve:
fn(x) = 1/x^2n- n(n-1)/x^(2n-1)+..........+(-1)^(n-1)n!/x^(n+1)
après je sèche ...
en fait on remarque que les dénominateurs des termes c'est du genre x^(2n-2) ; x^(2n-3)...jusqu'à x^(n+1)

j'espère que j'ai été claire :s
merci d'avance et joyeuses fêtes!
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[invite6de5f0ac]

Bonjour,

L'idée de passer par le développement en série entière me semble très raisonnable. Mais je pense que ça doit pouvoir se faire directement, probablement par récurrence :

f(x) = exp (-1/x)

df/dx = (1/x²).exp(-1/x) = f(x)/x²

d²f/dx² = (-2/x³).f(x) + (1/x²).df/dx = (-2/x³ + 1/x⁴).f(x)

(si je ne me suis pas planté, j'ai juste esquissé les calculs sur un bout de coin de table) et ainsi de suite... c'est assez rapidement pénible mais sans réelle difficulté.

Cordialement,

-- françois