Dérivée k-ième de x^{n}

**Bleyblue** · 11/08/2005, 21h54

Bonjour,

J'essaie de trouver une expression de la k-ième dérivée de $\text{[math]}$

f' = $\text{[math]}$
f'' = $\text{[math]}$
f''' = $\text{[math]}$

Donc moi je dirais :

$\text{[math]}$
mais cette formule n'est valide que pour k naturel. De plus il faut supposer k > n ce qui n'est pas forcment le cas.

Vous auriez une formule plus générale à proposer

?

merci

**LocalStone** · 11/08/2005, 22h18

Je suis pas mathématicien, loin de là, mais j'ai peut-être une idée ...
On peut pas dire que $\text{[math]}$ ?
Où en tout cas jouer sur le fait que les puissance ne soient en fait qu'une association de logarithme et d'exponentiel ...
Si ça peut aider ...
++ !

**LocalStone** · 11/08/2005, 22h37

J'ai fait des calculs

, et en fait, la formule pour la dérivée est aussi bien valable pour k entier que pour k réel ... Je savais pas non plus ...

**Bleyblue** · 12/08/2005, 18h02

Ma formule à moi n'est valable que pour k naturel étant donné que x! n'est définit que pour x naturel.

Sinon avec ta méthode cela pourrait aller mais je pense que je suis sensé y pavenire sans celle ci (c'est un exercice qui vient de mon livre d'analyse et à cette partie la le lecteur n'est pas sensé connaître les dérivées de fonctions logarithmiques ...)

merci

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**phenomene** · 12/08/2005, 18h11

Bonjour, les formules sur les factorielles peuvent se prolonger grâce à la fonction Gamma d'Euler. C'est une fonction définie pour tout nombre complexe de partie réelle strictement positive, et en particulier pour tout réel strictement positif donc. Elle vérifie la propriété $\text{[math]}$ pour un entier naturel $\text{[math]}$ , et la même relation fondamentale que la factorielle : $\text{[math]}$ .

Mais le plus simple est probablement de laisser tes $\text{[math]}$ tels quels sans chercher à les remplacer par des factorielles, ainsi ta formule reste valable pour $\text{[math]}$ réel sans problème.

Au fait, il me semble que tu intervertis des $\text{[math]}$ et des $\text{[math]}$ dans ta formule.

**Florette** · 12/08/2005, 18h26

Bonjour,
Mathematiquement on peut derviver n fois une fonction avec n non naturel? C'est ce que vous aves l'air de dire alors je demande!
Merci

**chrisgir** · 12/08/2005, 18h35

Non on ne peut pas dériver un nombre réel de fois une fonction. n doit être naturel.

**phenomene** · 12/08/2005, 19h11

Envoyé par Florette

Bonjour,
Mathematiquement on peut derviver n fois une fonction avec n non naturel? C'est ce que vous aves l'air de dire alors je demande!
Merci

On peut en effet étendre le concept de dérivation à un ordre non entier, mais c'est assez compliqué (cela fait appel à la théorie des distributions, ou à celle de la transformée de Fourier, par exemple).
Un copain a fait une thèse d'histoire des maths là-dessus et en parle un peu sur une page web qui a l'air accessible au non-spécialiste : http://s.dugowson.free.fr/recherche/dones/DONE.html.

Mais dans ce fil, rien de tout ça, il y a juste eu interversion de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ par l'intervenant initial ! Bref, c'est une erreur...

**Bleyblue** · 13/08/2005, 17h46

Mais le plus simple est probablement de laisser tes $\text{[math]}$ tels quels sans chercher à les remplacer par des factorielles, ainsi ta formule reste valable pour $\text{[math]}$ réel sans problème.

Au fait, il me semble que tu intervertis des $\text{[math]}$ et des $\text{[math]}$ dans ta formule.

Ahh ben oui ... je n'avais pas pensé à (n - k + 1) tiens.
Sinon oui en effet j'ai interverti n et k par erreur dans ma formule.

Donc en fait :

$\text{[math]}$

merci

**Zuriv** · 13/08/2005, 18h20

k(k-1)...(k-n+1) . x^(k-n) plutot, si tu dérive x^k

**phenomene** · 13/08/2005, 18h22

Allez, mon dernier mot sera :
$\text{[math]}$ .

**Bleyblue** · 13/08/2005, 19h31

Décidément, je fais des fautes partout

Un grand merci !

**LocalStone** · 13/08/2005, 22h38

Et bah je viens d'apprendre que l'on peut faire une dérivée d'ordre 1,5 ... Euh ... Compliqué ... J'ai du mal à admettre ...

**Bleyblue** · 14/08/2005, 18h48

Hé

?

C'est bizarre ça, dérivé 1,5 fois une fonction

**LocalStone** · 14/08/2005, 23h54

Je suis bien d'accord

... Mais lui, http://s.dugowson.free.fr/recherche/dones/DONE.html, il dit que si !

**Bleyblue** · 15/08/2005, 09h40

En effet.

Ca n'a pas l'air trivial trivial, je rajoute ça à mes favoris, je lirai un de ces jours ...

**Florette** · 15/08/2005, 09h46

Merci pour le lien, j'ai pas tout compris mais c'est marrant de vouloir dériver 1,5 fois une fonction! Et il a l'air de dire que ce genre de derivation a des applications en sciences de l'ingenieur, quoi par exemple? Vous avez une idée? Car une derivee premiere de position, par exemple, en méca c'est une vitesse, une derivee seconde, une accélération, je veux bien imaginer ce que peut etre une derivee troisieme (a quelle vitesse l'accélération augmente, un truc du genre), mais une derivee 1,5!...

**Bleyblue** · 15/08/2005, 09h53

Pour ma part je n'en sais rien.

Mais bon, ce n'est pas car l'application n'est pas évidente qu'elle n'existe pas ...

**Florette** · 15/08/2005, 09h58

Oui Bleyblue je me doute bien que ce n'est pas parce que quelque chose ne va pas de soi que ca n'existe pas! Je crois que les mathematiciens auront toujours des outils pour surprendre le grand public! Je ne remettais pas en cause l'existence de derivee 1,5e (je sors juste de mpsi je n'en aurais pas la pretention: c'est une these de doctorat!!!) mais j'aurais aimé que phenomene me dise, s'il le sait, quelles sont les applications que ca peut avoir. Car ca me laisse perplexe (mais pas dubitative

).
Merci d'avance!

**blouseman** · 15/08/2005, 11h35

bonjour bleyblue,
juste pour te dire que c'est normal qu'on ne puisse trouver une formule que pour n<k. Car pour n>k, la dérivée n ieme de x^k est nulle.

**Bleyblue** · 15/08/2005, 18h29

Envoyé par blouseman

pour n<k. Car pour n>k, la dérivée n ieme de x^k est nulle.

Bien sûr, mais je me disais que peut-être la formule renverrai zéro.
Parce qu'en toute rigeure la dérivée 20ième de f(x) = x existe et vaut zéro, or en utilisant la formule on tombe sur une fausse réponse ...

Envoyé par Florette

Oui Bleyblue je me doute bien que ce n'est pas parce que quelque chose ne va pas de soi que ca n'existe pas!

Je n'ai jamais dis que tu ne t'en doutais pas. C'était juste pour préciser, au cas où

**minnolina** · 24/08/2005, 12h53

Envoyé par Bleyblue

Bien sûr, mais je me disais que peut-être la formule renverrai zéro.
Parce qu'en toute rigeure la dérivée 20ième de f(x) = x existe et vaut zéro, or en utilisant la formule on tombe sur une fausse réponse

Au contarire, la formule dit:

$\text{[math]}$

donc si k>n un des termes de $\text{[math]}$ devient zero.

Dans ton exemple:

$\text{[math]}$

**Bleyblue** · 24/08/2005, 16h31

Effectivement.

Bon eh bien je fais VRAIMENT des fautes partout alors, suis nul

merci

Dérivée k-ième de x^{n}

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