Bonjour,
J'ai - malheureusement pour moi - besoin de connaitre la derivee n-ieme d'une fonction composee quelconque, et je m'apercois qu'il ne semble pas y avoir de formule simple... Est ce qu'il y en a une qui existe, meme si elle est tres tres laide??Merci!
Ça ne serait pas une formule de base du genre :J'ai - malheureusement pour moi - besoin de connaitre la derivee n-ieme d'une fonction composee quelconque, et je m'apercois qu'il ne semble pas y avoir de formule simple...mais avec une fonction composée? Sinon, désolé de ne pas être sur la bonne piste!
-Maxime
naïvement je dirais que tu dois pouvoir aboutir à une formule aux allures du binôme de Newton... (avec des dérivées au lieu des puissances)... m'enfin, j'ai réfléchi moins de dix secondes sur ça et sans papier, alors....
cf. ce qu'il se passe pour la dérivée n-ième d'un produit de fonctions....
non... ou alors... enfin, non, en fait il y a bien sur des produits de derivees, mais le nombre de termes dans les produits est "quelconque" (la somme des derivees doit faire n, c'est le seul truc a peu pres clair), et la combinatoire est semble-t-il non triviale. Mais, c'est la question, peut etre que cette difficulte n'est qu'apparente...Envoyé par Rincevent
naïvement je dirais que tu dois pouvoir aboutir à une formule aux allures du binôme de Newton... (avec des dérivées au lieu des puissances)... m'enfin, j'ai réfléchi moins de dix secondes sur ça et sans papier, alors....
cf. ce qu'il se passe pour la dérivée n-ième d'un produit de fonctions....
C'est comme composer deux séries formelles
bref : c'est affreux
Salut,
Je vais peut être sortir un truc débile mais ce que j'essairai de faire c'est de dériver une première fois (u o v) puis une seconde fois et enfin une troisième, puis voir si je peux (en bidouillant un peu) sortir une formule un peu plus générale et vérifier si elle marche par récurrence. Ce n'est qu'une idée en l'air et tu l'a peut être déjà tenté mais je n'ai pas d'autres idées désolé...
Chouket
Allez hop, on développe (note : si
Les indices étant
Salut,
C'est comme composer deux séries formelles
bref : c'est affreuxHum... tu es sûr de ton coup?
J'avais compris qu'il faut chercher une formule pour (uov)(n), non?
J'ai commencé les calculs:
(uov)'=v'.u'(v)
(uov)"=v'²u"(v)+v"u'(v)
(uov)(3)=v'3u(3)(v)+3v'v"u"(v)+v(3)u'(v)
(uov)(4)=v'4u(4)(v)+6v'²v"u(3)(v)+3v"²u"(v)+4v'v(3)u"(v)+v(4)u'(v)
Mais je ne vois pas de méthode pour généraliser
N'est-ce pas...Salut,
(uov)'=v'.u'(v)
(uov)"=v'²u"(v)+v"u'(v)
(uov)(3)=v'3u(3)(v)+3v'v"u"(v)+v(3)u'(v)
(uov)(4)=v'4u(4)(v)+6v'²v"u(3)(v)+3v"²u"(v)+4v'v(3)u"(v)+v(4)u'(v)
Mais je ne vois pas de méthode pour généraliser
bon je n'en ai peut etre pas un besoin crucial... m'enfin
je verrai au retour de vacances
moi je crois bien que rincevent a donné la solution
c'est meme assez sur ! il se passe exactement la même chose qu'avec (u+v)^n.
En tout cas la solution du binôme de Newton est la bonne elle est aussi assez intuitive reste plus qu'à trouver une preuve rigoureuse mais ça doit pas être si dur que ça....
oui c'est facile.
on connait (u+v) dérivé n-1 fois. on suppose que c'est de la forme (u+v)^n-1. pour dériver encore une fois on dérive tout par rapport à u et v une fois, ça revient exactement au même (en transposant) que de multiplier par (u+v) donc on a notre récurrence et hop. (l'ancrage est trivial u+v dérivé 0 fois, c'est (u+v)^1, donc y'a juste un décalage entre le nombre de dérivation et la puissance).
écrivez les chose sur papier là c'est brouillon mais je sais pas utiliser laTex
Attention,
il ne faut pas confondre la dérivée n-ième d'un produit, donnée par la formule
et la dérivée d'une composition fog=f(g) de deux fonctions!
les personnes intéressées par la dérivée n-ième de la composée f°g, trouveront la réponse dans le Lemme 3.1 de la page suivante:
http://www.dma.ens.fr/culturemath/ma...derivation.pdf
PS: âmes sensibles s'abstenir !!
C'est (du point de vue des calculs) équivalent de dériver une composée et de composer des séries formelles.
J'avais compris qu'il faut chercher une formule pour (uov)(n), non?
Salut,
oui j'ai dit n'importe quoi
Pardonne-moi, mais je ne vois pas le lien :confused:
Si tu as un peu de temps, tu pourrais expliquer sur un exemple, stp?
Sacrée astuce!les personnes intéressées par la dérivée n-ième de la composée f°g, trouveront la réponse dans le Lemme 3.1 de la page suivante:
http://www.dma.ens.fr/culturemath/ma...derivation.pdf
PS: âmes sensibles s'abstenir !!
Je pouvais chercher longtemps...
c'est très fort !
Mais la formule n'en reste pas moins assez... brutale on peut dire
J'imagine bien un exo du style:
Soit
où
Pas de problème. Je vais expliquer, mais pas sur un exemple (désolé).Pardonne-moi, mais je ne vois pas le lien :confused:
Si tu as un peu de temps, tu pourrais expliquer sur un exemple, stp?
Je veux calculer
Formule de Taylor pour g en x_0 :
Puis formule de Taylor pour f en g(x_0) :
On remplace alors y :
Puis formule de Taylor pour
Yapuka identifier les coefficients.
Je vais écrire un exemple.
IE6 n'a pas supporté tant d'inélégantes formules, il m'a rendu l'âme pendant que j'écrivais l'exemple... On recommence (dans la joie)
Exemple (j'augmente la taille, non pour crier mais pour qu'on voie les couleurs) :
g(3+x)=7-2x+3x^2+...
f(7+y)=2+5y-6y^2+...Alors
f(g(3+x))=2+5(-2x+3x^2+...)-6(-2x+3x^2+...)^2+...
=2+(-10x+15x^2+...)+(-24x^2+...)+...
=2-10x-9x^2+...
Donc la dérivée de f rond g est -10 et la dérivée seconde -9/2, etc...
Merci,
j'y vois plus clair désormais.
