Estimer la borne supérieure d'un intervalle

[RizGoureux]

Bonjour,

Je me pose une colle depuis quelques jours et je n'arrive pas à la résoudre.

Imaginons un échantillons x_1, x_2, x_3, ..., x_n (=: x) de valeurs entières prises au hasard (loi uniforme) dans un intervalle d'entiers {1, 2, 3, ..., N} où N est inconnu.

L'idée est de déterminer N à l'aide de l'échantillon donné.

En tâtonnant, j'ai essayé de poser l'estimateur g qui a un échantillon x associe (2^n + 1)/(2^n) * max_i(x_i).

On a ainsi la convergence (en proba ? en lois ? je ne sais plus) de l'estimateur g vers N. Mais je souhaiterais déterminer son biais (et donc, d'abord, son espérance, et c'est là que je bloque).

Pouvez-vous m'aider ?

Question bonus : quid du cas où N est réel et donc {1, 2, 3, ..., N} devient [1, N] (ou [0, N], peut-être plus simple) ?

Probabilistiquement votre,

RizGoureux
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[gg0]

Bonjour.

Procédons par ordre. Quelle est la loi de g ? En notant que g=(2^n + 1)/(2^n) * h et que la loi de h est simple, tu dois pouvoir répondre.

Cordialement.

NB : Je suis surpris que tu dises que g converge vers N sans être capable de donner sa loi donc son espérance.

[RizGoureux]

Bonjour,

Je suis désolé, mais je n'y parviens pas.

Cordialement,

RizGoureux

[gg0]

Un classique :



Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[leon1789]

Bonjour,

Imaginons un échantillons x_1, x_2, x_3, ..., x_n (=: x) de valeurs entières prises au hasard (loi uniforme) dans un intervalle d'entiers {1, 2, 3, ..., N} où N est inconnu.

L'idée est de déterminer N à l'aide de l'échantillon donné.

En tâtonnant, j'ai essayé de poser l'estimateur g qui a un échantillon x associe (2^n + 1)/(2^n) * max_i(x_i).

pourquoi cet estimateur ?
Puisque N est un entier, pourquoi ne pas considérer un estimateur à valeur entière ?! tout simplement max(x_i) , ou bien la partie entière de [ max(x_i)*(n+1)/n ]

Question bonus : quid du cas où N est réel et donc {1, 2, 3, ..., N} devient [1, N] (ou [0, N], peut-être plus simple) ?

la même chose, mais sans partie entière : max(x_i) ou bien max(x_i)*(n+1)/n

[RizGoureux]

Bonsoir,

Que l'estimateur soit un entier ou pas m'importe peu.

Ensuite, pourquoi le coefficient ? Très intuitivement (et peut-être faussement) pour la raison suivante : Si je pioche au hasard un entier dans , mon résultat moyen (espérance) est . J'ai donc sensiblement autant de chance de tomber en dessus qu'en dessous, donc je prends le double de mon résultat pour espérer tomber pas loin de . Ensuite, le deuxième tirage a, a priori, une chance sur deux d'entre au dessus du premier, et une chance sur deux d'être dessous. S'il est dessous, ça ne m'intéresse pas (il disparait dans le max), mais s'il est dessus, alors il est entre et . Il est donc autour du 3eme quartile de l'intervalle, 50% de chance qu'il soit au dessus, 50% de chance qu'il soit en dessous. Donc il ne me suffit plus que de multiplier par 4/3 pour espérer atteindre la bonne valeur. Et ainsi de suite, 8/7, 16/15, 32/31, bref, .

Voilà.

Je ne parviens ceci-dit toujours pas à calculer l'espérance de mon estimateur. Je suis bien d'accord avec la formule donnée plus haut par gg0, mais je ne vois pas où elle intervient dans mon calcul.

Cordialement,

RG

[gg0]

Ben ... si le max prend les valeurs x_i avec les probabilités p_i, g prend les valeurs (2^n + 1)/(2^n) *x_i avec les probabilités p_i. Je t'ai donné le moyen de calculer les p_i. Tu sais évidemment que pour une variable discrète entière X et k entier, P(X=k)=P(X<=k)-P(X<=k-1).

Cordialement