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cos(n)/n, borne supérieure, borne inférieure



  1. #1
    pedrohero7

    cos(n)/n, borne supérieure, borne inférieure


    ------

    Bonjour,
    Voici un exercice: Soit E={cos/n, n∈IN*}. Calculer inf E et sup E. J'arrive à trouver inf E=0 par intuition. J'ai aussi fait ça:

    -1≤cos(n)≤1
    -1/n≤cos(n)/n≤1 ,car n∈IN*

    or lim -1/n = lim 1/n = 0 .
    (n—>∞) (n—>∞)

    Donc, d'après le théorème des gendarmes, lim cos(n)/n=0
    (n—>∞)

    Cela permet-il de conclure que 0 est la borne inférieure de E ? et pour la borne sup ? Quelqu'un a une idée ? Je serai ravi d'avoir de l'aide.
    Cordialement.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    God's Breath

    Re : cos(n)/n, borne supérieure, borne inférieure

    Bonjour,

    Il me semble que cos(2)/2 appartient à E et est strictement négatif: la borne inférieure de E ne serait donc pas 0.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    pedrohero7

    Re : cos(n)/n, borne supérieure, borne inférieure

    En effet. Comme -1/n ≤ cosn/n ≤ 1/n, on a un majorant et un minorant, et -1 est le plus grand des minorants. donc inf(E) = -1.

  5. #4
    Tryss

    Re : cos(n)/n, borne supérieure, borne inférieure

    Heu... non, -1 n'est pas le plus grand des minorants.

    -1/2 est aussi un minorant de E, mais -1/2> -1

  6. #5
    pedrohero7

    Re : cos(n)/n, borne supérieure, borne inférieure

    quand je calcule les premiers termes, cela ne me convainc pas. je suis dans le brouillard là.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Tryss

    Re : cos(n)/n, borne supérieure, borne inférieure

    cos(1)/1 = 0.5403
    cos(2)/2 = -0.2081
    cos(3)/3 = -0.33
    cos(4)/4 = -0.1634

    Comme -1/n < cos(n)/n < 1/n, alors pour tout n > 4 on a -1/4 < cos(n)/n < 1/4

    Or cos(3)/3 < -1/4 < cos(n)/n < 1/4 < cos(1)/1, et ce pour tout n > 4

    On a donc Inf(E) = cos(3)/3 et Sup(E) = cos(1)/1

    Bon, c'est assez peu élégant d'énumérer les cas, mais ici ça marche bien.

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  10. #7
    pedrohero7

    Re : cos(n)/n, borne supérieure, borne inférieure

    Là je vois bien. Mais on est obligé de calculer les premiers termes pour démontrer.

  11. #8
    younessit

    Re : cos(n)/n, borne supérieure, borne inférieure

    y as certainement une autre méthode..... remarquer que cos (n)= cos(n+2pi . n)

  12. #9
    MthS-Dillinger

    Re : cos(n)/n, borne supérieure, borne inférieure

    Si quelqu'un trouve une méthode plus élégante que celle de Tryss, je lui tire mon chapeau
    Dernière modification par MthS-Dillinger ; 19/10/2011 à 16h53. Motif: Je commençais à raconter n'importe quoi.
    Rédac-chef de Modern Zeuhl, blog des musiques d'Outre-Monde. 100% ad-free.

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