Bonjour,
Voici un exercice: Soit E={cos/n, n∈IN*}. Calculer inf E et sup E. J'arrive à trouver inf E=0 par intuition. J'ai aussi fait ça:
-1≤cos(n)≤1
-1/n≤cos(n)/n≤1 ,car n∈IN*
or lim -1/n = lim 1/n = 0 .
(n—>∞) (n—>∞)
Donc, d'après le théorème des gendarmes, lim cos(n)/n=0
(n—>∞)
Cela permet-il de conclure que 0 est la borne inférieure de E ? et pour la borne sup ? Quelqu'un a une idée ? Je serai ravi d'avoir de l'aide.
Cordialement.
Bonjour,
Il me semble que cos(2)/2 appartient à E et est strictement négatif: la borne inférieure de E ne serait donc pas 0.
En effet. Comme -1/n ≤ cosn/n ≤ 1/n, on a un majorant et un minorant, et -1 est le plus grand des minorants. donc inf(E) = -1.
Heu... non, -1 n'est pas le plus grand des minorants.
-1/2 est aussi un minorant de E, mais -1/2> -1
quand je calcule les premiers termes, cela ne me convainc pas. je suis dans le brouillard là.
cos(1)/1 = 0.5403
cos(2)/2 = -0.2081
cos(3)/3 = -0.33
cos(4)/4 = -0.1634
Comme -1/n < cos(n)/n < 1/n, alors pour tout n > 4 on a -1/4 < cos(n)/n < 1/4
Or cos(3)/3 < -1/4 < cos(n)/n < 1/4 < cos(1)/1, et ce pour tout n > 4
On a donc Inf(E) = cos(3)/3 et Sup(E) = cos(1)/1
Bon, c'est assez peu élégant d'énumérer les cas, mais ici ça marche bien.
Là je vois bien. Mais on est obligé de calculer les premiers termes pour démontrer.
y as certainement une autre méthode..... remarquer que cos (n)= cos(n+2pi . n)
Si quelqu'un trouve une méthode plus élégante que celle de Tryss, je lui tire mon chapeau
