sous groupe de (R,+), borne inférieure

[invite21126052]

bonjour à tous

voilà, une question dans un exercice me pose quelques problèmes, j'ai une solution à proposer, mais je n'en suis pas convaincu... donc, si vous aviez l'amabilité de me dire si c'est juste ou non!

soit (G,+) un sous groupe de (IR,+) tel que G <> {0}. on note G⁺ l'intersection de G et des reels strictement positifs

montrer que G⁺ admet une borne inférieure dans IR, on le note b => ça, ok

On suppose que b>0; montrer que b appartient à G⁺.
c'est pour cette question ci...

alors, supposons que ce ne soit pas le cas.
soit un a dans G, et a <>b
Puisque a n'est pas la borne inférieure b de G, et que b n'app. pas à G, on peut trouver un c dans G tel que b<c<a.
en particulier, on peut trouver c tel que b<c<2*b.
donc 0<c<b, mais dans ce cas b n'est pas la borne inferieure.

contradiction.
donc, b appartient à G.

voilà, est-ce juste? y a-t-il plus simple? merci pour vos réponses!
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[GuYem]

Ca ne m'a pas l'air trés juste puisque tu prends a=2b ; a doit être dans G mais 2b ne l'est pas.

[invite21126052]

merci pour ta réponse, mais en fait je ne prends pas réellement a=2*b, mais juste un a inférieur à 2*b, ce qui me permet de réaliser l'encadrement... (que je peux tout de suite faire avec a en fait, pas besoin de c)

la question reviendrait à savoir s'il existe a dans G compris entre b et 2*b.... ce qui est le cas puisque sinon, 2b serait borne inferieure, donc contradiction

non?

[GuYem]

Le fait qu'il existe a dans G compris entre b et 2b résulte immédiatement de la définition de le borne inférieure comme tu l'as dit.

Mais maintenant je ne vois pas d'où vient ta contradiction :
b<a<2b ; donc 0<a-b<b ; mais rien ne dit que a-b est dans G.

D'ailleurs il ne l'est pas :P


J'ai rapidement essayé de retrouver ce résultat mais je ne me rapelle plus comment on fait.. de mémoire il faut aller "plus loin" dans le groupe, ie il faut prendre une inégalité du style b<a<b+epsilon avec a dans G, la translater assez de fois pour arriver à une contradiction.

C'est un peu flou mais comme je t'ai dit je ne me rappelle plus!

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

Voilà une manière un peu tordue de faire mias ça marche bien.

Suppose b>0 et b pas dans G. Alors il y a un a dans G entre b et 2b : b<a<2b.

De plus a n'est pas égal à b, puisque b n'est pas dans G!
Donc on peut le refaire avec b et a ; on trouve c dans G avec b<c<a<2b.

Maintenant regarde c-a et je te laisse finir

[invite21126052]

oui, d'accord!!!

merci beaucoup! je vais enfin pouvoir avancer

[GuYem]

A noter que cette méthode est assez bizarre.
Je suis quasiment sur qu'on s'en sort en prenant a dans le groupe et en le "divisant" par b ; en ce sens qu'il existe d et r avec a = bd+r où 0<=r<b ; mais je ne sais plus comment on conclue aprés

[g_h]

message supprimé

J'ai raconté des bêtises... désolé

[GuYem]

Heu, j'ai peut-être besoin de révisions aussi... mais je n'ai pas l'impression que ceci soit "évident" !
Exemple : posons et donc
La borne inférieure de X⁺ est 1, mais il n'y a pas d'élément de X⁺ compris entre 1 et 2 !

A mon avis il faut donc montrer que G⁺ est dense dans R, en se servant du fait que (G,+) soit un groupe..., G étant un sous groupe de (R, +) (EDIT : et que b soit strictement supérieur à 0 !)

Si, il y a 1

La définition de la borne inf c'est : le plus grand des minorants.

Ca veut dire :
1) que c'est un minorant.
2) que si tu prends un élément plus grand (b+espilon) alors il y a un élément de G qui est plus petit que b+epsilon.

EDIT : trop tard, j'ai eu le temps de citer avant que tu supprimes

[g_h]

Dans ton message tu as mis une inégalité stricte (qui est nécessaire) !

Suppose b>0 et b pas dans G. Alors il y a un a dans G entre b et 2b : b<a<2b

Donc je ne suis pas d'accord avec ce que tu viens de dire...

Là ou j'ai fait une erreur c'est plutôt en oubliant la supposition que b n'était pas dans G (pas vrai dans mon exemple)... non ?

[GuYem]

Si.

Ici l'inégalité de gauche est stricte, justement parce que b n'est pas dans G. Je le dis juste aprés.
En général l'inégalité est large et c'est ce qui se passe dans ton exemple.

[g_h]

Je n'ai pas été très (du tout) clair : il fallait aussi comprendre le message que j'ai supprimé comme avec une inégalité stricte... mais je ne répondais plus à la question !

Enfin bref, petit malentendu