Matrice de passages, semblables, etc.

[tarantio]

Bonjour à tous
Je cherche une explication sur un cours de maths concernant les matrices, par le biais d'une démonstration mais mieux si possible avec un quelconque exemple. Comme le montre le titre de mon topic, j'aimerais savoir si quelqu'un pourrait tout d'abord me montrer comment trouver une matrice de passage P, simpliste j'imagine mais dans les bouquins la matrice est posée directement sans détails de "comment on la trouve"..
Également, ce que je ne comprend pas dans les cours sont les relations entre matrices associées (A et A') à une application linéaire tq A'=Q^-1 x AxP
(Q et P matrices équivalentes) et la relation A=PDP^-1 où D est la matrice représentant un endomorphisme u soit diagonale (donc comment trouver D)

Merci d'avance

Tarantio
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[US60]

D est la matrice diagonale formée par les valeurs propres de l'application linéaire , formez le polynôme caractéristique et résoudre l'équation = 0

etc

[invitebf89bef5]

Bonjour,

D'abord concernant la matrice de passage P:
On appelle matrice de passage d'une bas (e) à (e') la matrice de représentation des vecteurs de la base (e') dans la base (e)
concrètement si tu es dans R^3 et que ta base (e)=(i,j,k) tu cherches à exprimer les vecteurs de la base (e')=(e1,e2,e3) comme combinaison linéaire des vecteur de ta base (i,j,k) dans R^n les coefficients sont faciles à trouver ce sont les les nombres qui se trouvent dans ton vecteur colonne e1

Ex: e1=(1 2 3) et bien e1= 1*i + 2*j + 3*k

et donc tu fabrique ainsi en mettant ces vecteurs en colonnes ta matrice de passage

Ensuite pour les relations entre A et A' c'est simplement l'écriture du théorème de changement de base dans le cas des matrices non carrées A' ( matrice dans la base (e'))= Q^-1(matrice de passage de (e') à (e))*A(matrice dans la base (e)* P (matrice de passage de la base (e) à (e'))

ainsi tu peux voir qu'il y a comme une relation de Chasles entre les bases (moyen mémotechnique infaillible pour ne pas se tromper)

et pour ton dernier problème A=PDP^-1 ceci est possible à condition que ta matrice soit diagonalisable c'est à dire qu'il existe une base formée de vecteurs propres de A ( ou de u) et pour trouver D tu cherches les valeurs propres de A que tu met en diagonales et pour trouver P ce sont simplement les vecteurs propres de A que tu as écrit en colonne dans le mêmes ordre que les valeurs propres pour ta matrice D (voir cours sur la Réduction des endomorphismes)

J'espère avoir été clair, n'hésites pas à poser des questions,

Elendil974

[tarantio]

Je comprends oui mais certains points restent flous pour moi, désolé il me manque quelques notions telles que les valeurs&vecteurs propres. J'ai regardé quelques cours mais ça ne me parle pas vraiment enfin bon je pense que ça va venir.
Mais par exemple si je considère la matrice A associée à l'endomorphisme f(x,y)=(-4x + 9y ; -4x + 8y) dans une base (e) de R^2
On trouve sa matrice J de cet endo dans la base (E)=((3,2)(1,1)) tq
|2 1|
|0 2| = J

Donc la relation entre J et A serait A=P^-1 xJxP ? (je pense me tromper '--) enfin comment trouver P et D (pour P j'ai compris votre exemple mais dans ca cas ? si vous pouviez me débloquer sur cette partie de l'algèbre linéaire... =/) merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebf89bef5]

On peux se tutoyer si cela ne te dérange pas


Ici P se trouve naturellement si ta base (e) de départ est la base canonique de R^2 c'est:

P=\( \array{3&2\\1&1}\)

si tu veux la matrice de passage de (e) à ta nouvelle base il faut que tu trouve les coordonnées de tes nouveaux vecteurs dans la base (e)


Ensuite pour D comme je te l'ai dit si tu ne connais pas le cours sur la réduction tu ne pourras pas comprendre. Tu es à la fac?

[invitebf89bef5]

désolé la syntaxe n'est pas bonne

P=[3 1]
[2 1]

[tarantio]

Oui je comprend, trouver P n'est pas mon vrai problème je voulais etre sur de bien comprendre.
A vrai dire en ce qui concerne D j'ai eu un cours mais disons que ma prof d'amphi est ..incompetente dans le sens où ses cours sont très mal organisés et présentés.. j'essai de coprendre via les livres etc et les forums sinon oui je suis à la fac enfin intégré au réseau Polytech' mais a la fac oui =) je commence à comprendre la diagonalisation avec les cours du net ou des exemples.
C'est pour cela que je cherche des explications sur ce forum où tu as bien voulu m'aider

[invitebf89bef5]

Effectivement si le cours n'est pas clair c'est un problème.

Pour ma part je ne peux pas te fournir un cours sur un forum désolé par contre si tu as des questions qui t'empêche de mieux comprendre le cours n'hésites pas

[tarantio]

Oui bien sur (par contre si tu connais des liens de cours sur internet et que tu peux les me passer je suis preneur^^)

J'ai pas mal de questions oui. Par exemple toujours sur le meme sujet :

Si je reprend le matrice J que j'ai explicité précédemment, pour calculer J^n la methode est elle bonne si J=2I+B où
B=[0 1]
[0 0]

ou bien ça c'est pour determiner A^n pour ensuite utiliser le binome de newton ? parce que lorsqu'on doit calculer J^n on devrait trouver 0 mais la methode je ne sais pas comment l'appliquer... :s jespere que j'explique plutot clairement deja que je m'embrouille tout seul '--

[invitebf89bef5]

Oui tu peux le faire dans ton cas car I₂ et B commutent c'est à dire I₂B=B₂ c'est la seule hypothèse de cette propriété.

Ensuite tu vas remarquer que B est une matrice nilpotente c'est à dire il existe m appartenant à |N tel que B^m=0 et B^m-1 est différent de zéro

Dans ton cas m=2 donc le binôme de newton se simplifie grandement et calculer I^n-k est facile donc en fait tu auras
avec B⁰=I

Jⁿ=2ⁿ.Iⁿ + 2^n-1n.I^n-1B=2I+2n.B

si je n'ai pas fait d'erreur.

[invitebf89bef5]

Désolé je n'avais corrigé la dernière partie de l'égalité on trouve donc

Jⁿ=2ⁿ.I + 2^n-1n.B

[tarantio]

Yes, ok ça commence à rentrer !
Si je continue sur ma lancée (si ça ne te dérange pas aussi de m'expliquer) : la relation entre A^n et J^n sera du même genre que les relations de mon premier post c.a.d A^n=P^-1 x J x P ou bien c'est a ce moment qu'on a D :A^n=P^-1 x D x P a vrai dire la ou est le pb c'est que je ne sais pas quand on doit utiliser D...

[invitebf89bef5]

En fait la relation A^n=P^-1JⁿP est toujours vrai seulement J n'est pas une matrice diagonale donc son calcul de puissance est moins trivial c'est pour cela que l'on se sert de la réduction pour simplifier la matrice. Mais dans ton cas J est une matrice triangulaire on peut donc utiliser facilement le binome de Newton.

NB: Pour une matrice diagonale D=diag(a,b,c,d)

Dⁿ=diag(aⁿ,bⁿ,cⁿ,dⁿ)

[tarantio]

Ok je vois, donc il faut trouver P, et comme tu me l'as dit précédemment c'est ... donc après P^-1=(1/detP)x Y
où :
Y=[3 1]
[2 1]

Jusque la tout va bien ^^ enfin je comence a comprendre de même pour le binome où je ne voyais pas quand l'appliquer

Par contre peut etre une derniere chose, si tu peux m'expliquer la diagonalisation en bref comme ça je pourrais la retravailler sur un cours plus "compliqué" mais au moins j'aurais une notion de la méthode

[invitebf89bef5]

Un petit cours synthétique.

D'abord la définition d'une valeur propre:
E un K-espace vectoriel de dimension n
Soit u un endomorphisme de E et A sa matrice dans une base B de E

on dit que a est valeur propre s'il existe Y un vecteur colonne non nul tel que AY=aY

Vecteur propre pour la valeur propre a

On dit que Y est un vecteur propre si Y est non nul et s'il existe a complexe ou réel tel que AY=aY

POlynôme caractéristique noté Q

Q=det(A-X*In) où X est l'indeterminé des polynômes

Théorème

L'ensemble des valeurs propres de A noté Sp(A) (lire spectre de A) sont les racines du polynome caractéristique


On appelle Ea l'espace propre associé à la valeur propre a en fait ce sont l'ensemble des vecteurs propres auquel on a rajouté le vecteur nul pour que ce soit un espace vectoriel

Théorème 1dim(Ea)multiplicité de a

Utilisation du rang pour trouver des valeurs propres (très utiles dans le cas des matrices n,n)
a est valeur propre ssi rg(A-a.In) est strictement inférieur à n

Diagonalisation

définition endomorphique: u est diagonalisable s'il existe une base formé de vecteur propres de u

matricielle: A est diagonalisable ssi il existe P inversible et D diagonale tel que A=PDP^-1
P représente la matrice de passage de la base B à la base de vecteur propre


Théorème caractérisation:
soit a une valeur propre de a

A est diagonalisable ssi Q est scindé et dim(Ea)=multiplicité de la valeur propre

A est diagonalisable ssi les espaces propres sont en sommes directes et la somme est égale à E


A est diagonalisable ssi il existe un polynome annulateur de A scindé à racines simples
définition polynome annulateur: R est un polynomes annulateur de A ssi R(A)=0


Condition suffisante:

Si Q est scindé à racines simples alors A est diagonalisable.



Concrètement on te donnera une matrice de taille 2,2 ou 3,3 ou 4,4

et on te dit diagonaliser-la (c'est à dire trouver P et D tel que A=PDP^-1 )

1) Chercher les valeurs propres:
calcul du polynome caractéristique et recherche de ses racines
1 er cas: Q est scindé à racines simples donc A est diagonalisable (très important à dire)

2eme cas Q n'est pas scindé à racines simples donc RIEN!

2) Recherche des espaces propres associé à chaque valeur propre
ex si tu recherche Ea (a valeur propre)

Tu prend un vecteur X colonne (x,y,z,t) (de la même dimension que le nombre de ligne de A)

et tu écrit :

X appartient à Ea(A) ssi AX=aX

ssi système d'équation

tu pivote de gauss pour trouver les x,y,z,t

important: pour trouver la dimension de l'espace propre tu regarde le nombre d'équation au départ et tu retranche au nombre d'équation après que tu est triangulé le système avec le pivot de gauss

Donc tu pose ton Ea=Vect(vecteurs trouvés)


3) 1er cas: dim(Ea)=multiplicité de a

alors A est diagonalisable

2eme cas dim(Ea) pas égale multiplicité de a
alors l'exo est terminé il n'existe pas P et D tel que...

4) tu écris D=diag(valeur propres dans l'ordre que tu veux)

et P=matrice des vecteurs propres rangés en colonne dans le même ordre que tes valeurs propres

voilà en gros ce qu'il faut connaître même si j'ai largement élagué

[tarantio]

Très largement élagué mais je pense suffisant pour m'inculquer une bonne notion de cette méthode que je retravaillerais après
Par contre, juste au niveau du vocabulaire : "scindé" et "muliplicité de a" j'avoue de pas voir ce que ça signifie.. enfin il y a des chances que je voie très bien ce que c'est mais la.. hem desolé, j'ai vraiment du mal avec ce cours

[invitebf89bef5]

un polynôme est dit scindé s'il peut s'écrire comme le produit de polynômes de degré 1:

ex: P=(X-1)²(X-3) est scindé car on peut l'écrire de cette manière P=(X-1)(X-1)(X-3)

propriété pour les polynômes
a est racine de P de multiplicité m si P^(m-1)=0 (voir dérivé (m-1)ème ) et si P^(m)0

Pour les valeurs propres:
en gros c'est le nombre de fois que tu retrouve a comme racine du polynome caractéristique si Q=-X(X-3)²
alors 3 est racine de multiplicité 2 et 0 racine de multiplicité 1

NB: le polynome caractéristique à forcément (-1)^{nombre de ligne} comme coefficient dominant (coefficiant devant le terme de plus haut degré)

et tr(A)= somme des valeurs propres (trace de A) bon moyen pour voir si on ne s'est pas trompé dans le calcul des valeurs propres

[tarantio]

Ah parfait je vois oui sauf que j'utilisais pas ce vocabulaire enfin je le connaissais pas vraiment.. J'ai pu faire quelques exos en lien avec notre sujet et j'ai très bien compris la méthode, sauf une chose ^^
Si ça ne te dérange pas j'ai deux derniers de chez derniers trucs a te demander sans vouloir te déranger :
1) Je cite ce que tu m'as ecrit poru la diagonalisation :"Recherche des espaces propres associé à chaque valeur propre
ex si tu recherche Ea (a valeur propre)

Tu prend un vecteur X colonne (x,y,z,t) (de la même dimension que le nombre de ligne de A)

et tu écrit :

X appartient à Ea(A) ssi AX=aX"

Voila j'ai essayé avec a=2 et
[0 1]
[-6 5]=A et j'ai fait le pivot de gauss mais je ne trouve pas le vecteur X du moins j'ai X=(0;0) alors qu'on devrait avoir X=(1;2)... peut etre me suis je trompé pourtant rien de plus simple :s

2) Et juste savoir pour la relation de changement de base X'=PX ? quand peut-elle etre utilisée par rapport aux autres relation que j'ai ecrite au tout début, en gros la différence ?

Merci je pense qu'après je serais opérationnel, désolé du dérangement

[invitebf89bef5]

1) Oui tu t'es trompé il faudrait que je vois ton calcul pour te dire où est l'erreur mais moi je trouve bien une droite dirigée par le vecteur
(1 2)

2) Et ce théorème de changement de base est valable pour des matrices colonnes je m'explique

Tu prend un espace vectoriel E de dimension finie n
deux bases de E notée (e) et (e')

X la matrice colonne c'est à dire qui appartient à M_n,1(R)
dans la base (e)

X' la matrice colonne dans la base (e')

et P la matrice de passage de (e) à (e') (c'est à dire la matrice de représentation des vecteurs de (e') dans (e))


et bien par théorème de changement de base tu as X=PX'

c'est encore une fois la relation de "Chasles"

X =P * X'
(e) (e)->(e') (e')

[tarantio]

Ok pour X'=XP, j'aurais pu comprendre tout seul quand même mais merci

Quant au calcul j'applique bien ce que tu m'as dit : AX=aX
Donc dans le cas précédent où je me suis trompé on a
[0 1][x]= 2[x]
[-6 5][y]= [y]

après je fais un système pour plus de clarté) avec application du pivot de gauss..
(1) 0 + y = 2x
(2) -6x + 5y=2y et après je sais pas mais j'ai bien x=y=0

Je me trompe rarement mais la j'avoue avoir fait une etourderie mais impossible de la localiser '--

[invitebf89bef5]

C impossible que tu trouve (0 0) puisque les 2 équations ne sont pas indépendantes L2=3L1 donc tu peux barrer une d'entre elle et en gardant la première tu as bien x=1 et y=2

[tarantio]

Exact! autant pour moi

Ben tout est parfait alors, vraiment, j'ai toutes mes réponses. Merci du temps que tu m'a donné et de tes explications claires , ça m'a beaucoup aidé et surtout j'ai pu boucler ce cours d'algèbre (à retravailler quand même).

Passe une bonne fin de soirée et qui sait à bientot