Lemme de Zorn et inductivité

[invitef4586ae2]

Bonjour,

Je dois passer mon TIPE dans deux jours et je viens de découvrir un problème majeur
Dans un premier temps, je démontre que l'axiome du choix implique le lemme de zorn sous la forme "tout ensemble strictement inductif admet un élément maximal", avec la définition suivante de strictement inductif : un ensemble est strictement inductif si toute partie non vide de cette ensemble totalement ordonnée admet une borne supérieure.

Le problème est que je veux ensuite montrer le théorème de la base incomplète en dimension quelconque, mais j'utilise pour cela le fait que l'ensemble des parties libre a un majorant, et non pas une borne supérieure, et donc est inductif mais pas strictement inductif.

Auriez vous une idée pour "réparer" le problème, par exemple montrer rapidement que les deux énoncé du lemme de Zorn, avec un ensemble strictement inductif ou simplement inductif sont équivalents.

Merci !
-----

[inviteafa56da9]

Bonjour,

Je ne sais pas répondre exactement à ta question (enfin si, mais pas si tu demandes "rapidement" !), mais je peux résoudre ton problème : tu n'as pas besoin du lemme de Zorn avec ensembles inductifs pour ta preuve (la version avec des ensembles strictement inductifs suffit).

Soit E un K-ev de dimension quelconque.

Tu prends A l'ensemble des parties libres, et A_0 une partie non vide totalement ordonnée de A. Tu considères ensuite l'union¹ de A_0, que je note X_0 (donc X_0 est un majorant de A_0). Mais X_0 est en fait une borne sup ! En effet, suppose qu'il existe x_1,...,x_n dans X_0 et r_1,...,r_n dans K tels que r_1x_1+r_2x_2+...+r_nx_n=0. Alors par définition de X_0, il existe forcément X_1,...,X_n éléments de A_0 tels que x_1 appartient à X_1, ..., x_n appartient à X_n. Puisque que A_0 est totalement ordonné et que {X_1,...,X_n} est un ensemble fini, il admet un plus grand élément (pour l'inclusion), que je note X_max. Mais par définition les x_i sont dans X_max, et donc X_max est une famille liée, ce qui est contradictoire.

Du coup, maintenant que tu sais que toute famille libre admet une borne sup, le lemme de Zorn permet de conclure.

N'hésite pas à poser des questions si quelque chose n'est pas clair et bon courage pour les oraux !

¹ L'"union de A_0" est l'union de tous les ensembles que contient A_0 (les éléments de A_0 sont des ensembles de E, ceux de l'union de A_0 sont des éléments de E).