La propriété du nilradical sans le lemme de Zorn

**invite4793db90** · 29/01/2009, 09h39

Salut,

dans la démonstration du fait que l'intersection des idéaux premiers d'un anneau $\text{[math]}$ (commutatif, unitaire) est l'ensemble des nilpotents (le nilradical), on utilise le fait qu'il y a une correspondance bijective entre les idéaux premiers de $\text{[math]}$ disjoints d'une certaine partie multiplicative $\text{[math]}$ et les idéaux premiers du localisé $\text{[math]}$ .

Or je ne trouve pas de preuve du théorème suivant qui ne repose pas sur le lemme de Zorn, ce qui pourtant me paraît possible :

Soit $\text{[math]}$ un anneau (commutatif, unitaire), $\text{[math]}$ une partie multiplicative de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ un idéal de $\text{[math]}$ disjoint de $\text{[math]}$ (i.e. tel que $\text{[math]}$ ). Alors il existe un idéal premier $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ contenant $\text{[math]}$ et disjoint de $\text{[math]}$ .

Je m'en remets donc à vos lumières.

Cordialement.

**Médiat** · 29/01/2009, 12h28

Bonjour,
J'ai peur de t'emmener sur une fausse piste (il doit y avoir une douzaine d'erreurs, sans compter les fautes de frappe, et peut-être même que je me vante), mais tant pis, j'essaye
Soit $\text{[math]}$ la réunion des idéaux contenant $\text{[math]}$ et d'intersection vide avec $\text{[math]}$ , c'est l'idéal maximal contenant $\text{[math]}$ et d'intersection vide avec $\text{[math]}$ .

Si $\text{[math]}$ n'est pas premier, il existe $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ J.
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ne peuvent pas être tous les deux dans $\text{[math]}$ , supposons que a ne soit pas dans $\text{[math]}$

Soit $\text{[math]}$ = { $\text{[math]}$ }, $\text{[math]}$ est clairement un idéal contenant strictement J.
Si il existe $\text{[math]}$ S tel que $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ J
$\text{[math]}$ = { $\text{[math]}$ }, $\text{[math]}$ est clairement un idéal contenant strictement $\text{[math]}$ .
Si il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ , or $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

**Médiat** · 29/01/2009, 12h30

Désolé, j'ai appuyé sur "envoyer" au lieu de "prévisualisation", du coup c'est écrit avec les pieds ...

invite57a1e779 · 29/01/2009, 12h45

Envoyé par Médiat

Soit $\text{[math]}$ la réunion des idéaux contenant $\text{[math]}$ et d'intersection vide avec $\text{[math]}$ , c'est l'idéal maximal contenant $\text{[math]}$ et d'intersection vide avec $\text{[math]}$ .

Une réunion d'idéaux, est-ce un idéal ?
Je pense qu'il faut effectivement zornifier pour obtenir l'existence d'un idéal $\text{[math]}$ maximal parmi les idéaux tels que...
C'est proche du théorème de Krull, et il y a peut-être moyen de prouver que le théorème est équivalent à l'axiome du choix.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Médiat** · 29/01/2009, 13h53

Envoyé par God's Breath

Une réunion d'idéaux, est-ce un idéal ?

Evidemment non, et il faut l'axiome du choix (Zorn par exemple) pour être sûr que l'idéal maximal existe.

Je me disais bien que c'était trop simple pour que martini_bird ne l'ai pas vu

**invite4793db90** · 29/01/2009, 15h00

Merci pour vos réponses.

Je vais tâcher de retrouver la preuve de (Krull $\text{[math]}$ AC) pour voir si on peut l'adapter au cas que je vous ai soumis.

Cordialement.

invite4ef352d8 · 29/01/2009, 23h13

Salut !

Dans le cas des anneaux Noetherien, il me semble avoir déja vu qu'on peut completement ce passer de l'axiome du choix.

en revanche, je ne sais pas si le résultat est vrai dans le cas général sans celui ci. (mais c'est pas impossible, vu que c'est un énoncé qui ne construit aucun objet 'etrange'...)

invite2c3ff3cc · 30/01/2009, 16h49

Quelques éléments et références là :
http://www.mc.edu/campus/users/travi...yHeatherly.pdf

**invite4793db90** · 02/02/2009, 10h58

Salut,

merci pour la réf.

En fait, le problème revient à trouver un idéal premier dans le quotient $\text{[math]}$ , une solution simple consistant à dire que celui-ci contient un idéal maximal.

Il ne doit pas y avoir d'autres solutions pour des « gros » anneaux, mais il me semble que sous des hypothèses raisonnables (noethériannité par exemple), on doit pouvoir exhiber un idéal maximal sans l'axiome du choix (ensemble des éléments non-inversibles par exemple). Qu'en pensez-vous ?

Cordialement.

**leon1789** · 02/02/2009, 13h25

Envoyé par martini_bird

Il ne doit pas y avoir d'autres solutions pour des « gros » anneaux, mais il me semble que sous des hypothèses raisonnables (noethériannité par exemple), on doit pouvoir exhiber un idéal maximal sans l'axiome du choix (ensemble des éléments non-inversibles par exemple). Qu'en pensez-vous ?

Dans les anneaux noéthériens, il existe des idéaux premiers minimaux, et ils sont en nombre fini. Pas de Zorn la-dedans : justement, la noethérannité, c'est fait pour ça (si je peux dire)
Tu connais la preuve classique ? elle fait une dizaine de lignes maximum.

**leon1789** · 03/02/2009, 05h11

Envoyé par martini_bird

dans la démonstration du fait que l'intersection des idéaux premiers d'un anneau $\text{[math]}$ (commutatif, unitaire) est l'ensemble des nilpotents (le nilradical), on utilise le fait qu'il y a une correspondance bijective entre les idéaux premiers de $\text{[math]}$ disjoints d'une certaine partie multiplicative $\text{[math]}$ et les idéaux premiers du localisé $\text{[math]}$ .

D'ailleurs, dans les anneaux noethériens, la preuve (à laquelle je fais allusion au-dessus) montre en même temps que l'intersection des idéaux premiers est égale au radical nilpotent, sans passer par la localisation (et sans Zorn bien sûr).

**leon1789** · 03/02/2009, 05h22

Envoyé par martini_bird

Il ne doit pas y avoir d'autres solutions pour des « gros » anneaux, mais il me semble que sous des hypothèses raisonnables (noethériannité par exemple), on doit pouvoir exhiber un idéal maximal sans l'axiome du choix (ensemble des éléments non-inversibles par exemple). Qu'en pensez-vous ?

Attention : l'ensemble des éléments non inversibles est rarement un idéal... (c'est possible, mais rare --> anneau locaux)

Si tu t'intéresses maintenant aux idéaux maximaux (et non seulement premiers), alors oui, dans un anneau noethérien, il existe au moins un idéal maximal (sans Zorn).

**leon1789** · 03/02/2009, 12h49

...enfin tout dépend de la définition choisie pour noéthérien...

**invite4793db90** · 03/02/2009, 15h07

Salut,

merci pour tes précisions.

Attention : l'ensemble des éléments non inversibles est rarement un idéal...

Oups, en effet.

Cordialement.

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