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probleme de zorn



  1. #1
    jenny66

    probleme de zorn


    ------

    bon je vien juste de trouver comment créer une nouvelle discution. Je m'escuse de mon intrusion sans rapport ( ou presque).
    Voila mon soucis:
    comme je l'ai dit je doit demontrer que tout sev d'un espace vectoriel quelconque admet au moins un supplementaire dans l'ev.
    notre prof nous a indiqué d'utiliser le lemme de zorn:
    "Tout ensemble inductif non vide admet un element maximal".
    Je ne veux surtout pas qu'on me resolve mon exercice mais si quelqu'un pouvais m(aider a comprendre certaines de ces choses:
    - qu'est ce qu'un ensemble inductif?
    - en quoi le lemme de zorn a t'il un rapport avec l'axiome du choix?
    merci d'avance.

    -----

  2. #2
    C.B.

    Re : probleme de zorn

    1/ Pour la définition d'inductif : http://www.les-mathematiques.net/b/g/z/node4.php3

    Définition Soit E un ensemble partiellement ordonné . E est dit inductif si toute partie de E non vide et totalement ordonnée possède un majorant.
    2/ Le lien entre le Lemme de Zorn et l'axiome du choix : Les deux sont équivalents (modulo les autres axiomes de la théorie des ensembles).

    Autrement dit, on peut, à partir des axiomes de la théories des ensembles montrer que :

    Lemme de Zorn <=> Axiome du choix.

  3. #3
    Quinto

    Re : probleme de zorn

    Note quand même que je ne vois pas comment tu pourrais trouver tout(e) seul(e) la réponse au problème.
    Indication donc:
    considère l'ensemble S de toutes les familles libres de ton ev E. (evidemment utilise la relation d'ordre d'inclusion)

  4. #4
    C.B.

    Re : probleme de zorn

    Citation Envoyé par Quinto
    considère l'ensemble S de toutes les familles libres de ton ev E. (evidemment utilise la relation d'ordre d'inclusion)
    Il faut en effet trouver le "bon" ensemble X et la bonne relation d'ordre sur X.
    Dans le cas en question, je pense que considérer l'ensemble que tu propose ne sera pas suffisant pour conclure.

    Pour trouver le "bon" X, il faut se demander : qu'est ce qu'on cherche ?
    C'est ici un supplémentaire d'un sev F que l'on cherche : on va alors essayer d'exprimer "être le supplémentaire de F" sous la forme "être un sev maximal parmi ceux vérifiant la propriété P" pour un ordre bien choisi (cet ordreest souvent l'inclusion ou quelquechose ressemblant beaucoup à l'inclusion).

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Quinto

    Re : probleme de zorn

    pfff n'importe quoi, je répondais à une autre question qui est celle ci:
    tout ev possède une base.

    Désolé de cette confusion sans raison.

  7. #6
    jenny66

    Re : probleme de zorn

    ok c trop gentil de votre part mais j'arrive pas a m'en sortir
    g pas bien saisi a quoi sa me sert de savoir que Tout ensemble inductif non vide admet un element maximal pour montrer qu'un ev admet un supplementaire...

  8. #7
    jenny66

    Re : probleme de zorn

    bon alors si je resume (si g bien compris...) il faut que j'utilise S ( bese de E mon ev donc famille libre et generatrice) et que je montre que (soit F mon sev) SUF={0} soit que la somme est dirrecte?
    je suis pas certaine de bien comprendre.
    je crois voir de quoi tu parle C.B mais je sait pas trop ce que c un sev maximal.
    est ce que c le plus grand sev de E? sa

  9. #8
    jenny66

    Re : probleme de zorn

    existe sa?
    et mon F doit etre ce sev max?
    et c quoi un truc qui ressemble a l'inclusion? ce serait une intersection d'ensembles maximaux?

  10. #9
    C.B.

    Re : probleme de zorn

    Citation Envoyé par jenny66
    ok c trop gentil de votre part mais j'arrive pas a m'en sortir
    g pas bien saisi a quoi sa me sert de savoir que Tout ensemble inductif non vide admet un element maximal pour montrer qu'un ev admet un supplementaire...
    La question a se poser est plutôt "comment s'en servir ?" : On a que tout ensemble inductif admet un élément maximal, et on veut montrer que F admet un supplémentaire.
    L'idée est de trouver une caractérisation des supplémentaires de F.

    Il faut trouver :
    "G est un supplémentaire de F" <=> "G est un élément maximal de X"
    avec X un ensemble inductif bien choisi muni d'un ordre bien choisi.
    En appliquant le lemme de Zorn, on aura directement l'existence d'éléments maximaux dans X donc l'existence de supplémentaires de F.

    Citation Envoyé par jenny66
    bon alors si je resume (si g bien compris...) il faut que j'utilise S ( bese de E mon ev donc famille libre et generatrice) et que je montre que (soit F mon sev) SUF={0} soit que la somme est dirrecte?
    je suis pas certaine de bien comprendre.
    Je ne suis pas sûr de bien comprendre ce que tu veux dire là.
    Je pense toutefois que tu ne peux pas utiliser l'existence d'une base dans un sev de dimension quelconque, car il s'agit d'une propriété découlant aussi du Lemme de Zorn et ayant presque la même démonstration que l'existence d'un supplémentaire.

    Citation Envoyé par jenny66
    je crois voir de quoi tu parle C.B mais je sait pas trop ce que c un sev maximal.
    est ce que c le plus grand sev de E? sa
    En fait, c'est toi qui choisi la relation d'ordre, donc c'est toi qui défini ce que voudra dire "maximal" (ce sera "maximal" pour cetterelation d'ordre).

    Un élément y appartenant à X est maximal pour la relation d'ordre R si aucun élément z de X n'est strictement plus grand que lui, c'est à dire :

  11. #10
    jenny66

    Re : probleme de zorn

    je te remerci enormement, ça ma eclerci le probleme.
    je vais y reconsacrer un peu de temps .
    encore merci.

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