calcul de densité

[invite83c1e388]

bonjour svp j'ai besoin de votre aide
on X et Y deux variables aléatoires indépendantes ayant la loi uniforme sur [0,1], et Z la variable définie par (X/Y,X)
1- en utilisant le théoréme de changement de variables, j'ai trouvé que la loi de Z c'est v/u² avec u=X/Y et V = X svp est ce que c'est juste??
le probleme: le domaine du l'inverse du difféomorphisme parce que je dois calculer la loi de X/Y et donc je me suis bloqué, j'ai pas trouvé ls bornes de l'integral
et merci pour vos aides
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[invite2e5fadca]

Notons . Alors



On pose , et on a



Donc

[invite83c1e388]

merci infiniment pour ta reponse
mais stp j'ai pas compris d'ou vient l'intervalle ([v,+oo]) c a d pr u>v et merci

[invite2e5fadca]

En faite il faut que tu réfléchisse comme suit :
On a u=x/y et v=y.
Autrement dit

Tu sait que (x,y) parcourent [0,1]², autrement dit 0<x<1 et 0<y<1 (ou inégalité large, ca ne change rien).
Comme v=x tu sais tout de suite que 0<v<1
Comme u=x/y tu a que pour 0<x<1 fixé que
0<y<1 <==> 1<1/y <==> x < x/y <==> v < u

Ici on n'a pu traiter x et y à part, cela peut être plus compliquer, en général si (x,y) parcourt une partie A de R^2, alors (u,v) parcourt la partie (on trouve la même chôse que ci-dessus), car

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite83c1e388]

je te remercie encore une autre fois mais quand j'ai calculé la jacobienne j'ai trouvé v/u² et non pas vu² ?????????
et ma deuxieme question je veux calculer la loi de x/y donc l'intgeratuon se fera su l'intervalle [u,1/u]??
et merci une utre fois