Série entière et équation différentielle

[invite3f9ae06f]

Bonsoir,

J'ai 2 problèmes dans mon exercice:

j'ai f(x)=integrale (0...infini) [exp(-t²)sin(tx)dt]
j'ai réussi à montrer que
f'(x)=integrale(0..infini)[texp(-t²)cos(tx)dt]

maintenant il me faut trouver l'équation différentielle qui est vérifiée par f.
Je me suis concerté avec d'autres de ma classe qui m'ont dit de faire une intégration par parties mais j'ai essayé en posant de différentes manières u, u', v, v' mais je n'aboutis pas à ce qu'ils trouvent, à savoir 2y'+xy=1

Ensuite il me faut trouver le développement en série entière qui vérifie l'équation (donc un DSE de f) qui vérifie y(0)=0
Là encore je bloque avec tous les indices et les réindexations, et je n'aboutis pas...

Merci de votre aide
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[invite1e1a1a86]

1) tu integres texp(-t²) et dérive le reste

2) c'est ça, tu écris f(x)=Somme(n=0...infini, an x^n)
tu dérives termes a termes
tu injectes dans l'equation differentielle, tu changes l'indice (en sortant le terme constant de la dérivée etc etc...)
et tu obtients très facilement une relation de récurrence entre les coefficients.

[invite3f9ae06f]

merci j'ai trouvé !

[invite392a8924]

Salut,


Seulement j'ajute que tu doit vérifier le passage de l'intégrale sous le signe somme !!!!!!!!

une serie entière est intégrable térme à terme si elle est convergente uniformement.

Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]