Série entiere (sous série...?)

[invite663838d8]

Bonjour tout le monde,
Voila je bloque dans un petit exo et je sollicite votre aide :

f(x) = somme des a_nxⁿ

exprimer
1 - sommes des a_2nx²ⁿ en fonction de f(x)
2- sommes des a_3nx³ⁿ en fonction de f(x)

Pour la premiere question pas de soucis, la somme est égale à
1/2[f(x) + f(-x)], parcontre pour la deuxieme...

Merci d'avance !
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[invite57a1e779]

Pour la premiere question pas de soucis, la somme est égale à 1/2[f(x) + f(-x)], parcontre pour la deuxieme...

Il faut comprendre que tout fonctionne parce que cette expression est , où et sont les racines carrées de 1.
Pour la seconde somme, il sera pratique de faire intervenir les racines...

[invite663838d8]

Désolé, je n'y arrive pas...
Pourrais-tu m'expliquer pourquoi le fait que u1 et u2 soient les racines de 1 fait que cela fonctionne ?
Une autres petite indication...?! XD

[invite57a1e779]

Calcule , tu comprendras peut-être ce qui se passe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite663838d8]

J'ai calculé et je trouve somme des a_4nx⁴ⁿ mais je vois toujours pas comment éliminer tous les termes sauf ceux dont l'indice est un multiple de 3...

[invite57a1e779]

En utilisant les racines carrées 1 et -1 de l'unité, tu fais disparaître un terme sur deux, avec les racines quatrièmes 1,i,-1 et -i, tu fais disparaître un terme sur quatre, et tu ne vois pas comment faire disparaître un terme sur trois ?

[invite663838d8]

Ah cette fois c'est la bonne, la difficulté c'était de trouver les racines cubiques de 1, c'est fait : il s'agit de 1 du complexe j = e^i2pi/3 et de son conjugué. Ce fut laborieux mais j'y suis finalement arrivé, merci beaucoup !