Série entière

[invite105fa62e]

Bonsoir, pouvez-vous m'aider:
On pose :
f(x) = (x-1) log(1 + x)
1. Quel est le développement en série entière, au voisinage de 0 de f(x) ?
2. En déduire le développement en série entière, au voisinage de 0 de :
g(x) = (x-1) log(1 + x) -(1 + x) log(1-x)
3. Quel est le rayon de convergence de la s érie obtenue.
4. La série converge-t-elle lorsque x = 1 ?
5. La série converge-t-elle lorsque x = i ?
(on pensera à appliquer le théorème sur les séries alternées).

1. Je trouve
après...
merci d'avance.
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[Universus]

Salut,

Vois-tu que ? Tu peux développer en séries entières le logarithme ici (à partir du développement de log(1+x) que tu connais déjà, mais en remplaçant le x par -x^2 ici (remplacement que tu ne fais que pour le log, pas pour le terme x-1)). Pour le 3, il faut utiliser des théorèmes sur la convergence de série (le test de D'Alembert me semble de propos). Pour le 4, tu obtiens que la série du log dans g(x) converge absolument (vois pourquoi) et en multipliant ce log par x-1 avec x=1, évidemment que g(1) converge (valant 0). Pour le 5, cela demande peut-être un peu plus de manipulations afin que la série du log dans g(x) soit séparée en une série réelle (c'est-à-dire une série non multipliée par i) et une série imaginaire (c'est-à-dire multipliée par i), chacune de ces deux séries étant alternées (tu peux donc penser «à appliquer le théorème sur les séries alternées»).