matrices et endomorphismes

[Southpaw]

Bonjour

J'ai un petit problème sur un DM de maths. On me donne un endomorphisme de R^3 v tel que vov=0 dont la matrice dans la base canonique est:
-1 1 1
-2 2 2
1 -1 -1

et on me demande de trouver une base B=(i,j,k) tel que la matrice est pour matrice dans cette base soit
0 0 1
0 0 0
0 0 0

Alors pour l'instant j'ai remarquer que l'image de dimension 1 était inclus dans le noyau de dimension 2 et donc pour avoir i de coordonnées (0,0,0) de B j'ai pris le coefficient directeur de Im(v) et pour k j'ai pris k=v(i) puisque il a pour coordonnées (1,0,0) dans B.

Mon problème consiste maintenant a trouver un vecteur de ker(v) non colinéaire à i et je sais pas comment faire

Si vous aviez une idée elle serait la bienvenue

Merci d'avance
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[KerLannais]

Salut,

Attention à ce que tu dis, tu as la bonne démarche mais je ne suis pas sûr que ce que tu as écris correspond exactement à ta pensée, il faut choisir k tel que i=v(k) et pas k=v(i), puisque comme tu l'as si bien dit i est tel que v(i)=0, et k=0 est assurément un choix qui ne convient pas pour le vecteur d'une base. Pour ce qui est de ta question, si tu suppose

tu as deux conditions que doit remplir j. La première est que j appartient au noyau, ce qui donne

la seconde est que j n'est pas colinéaire à i. Normalement ton vecteur i est colinéaire à

mais je ne sait pas exactement le vecteur que tu as choisi. Il est alors facile de choisir un vecteur non colinéaire, il suffit par exemple de prendre y nul et pas z (et x tel que ). Le vecteur obtenu ne peut pas être colinéaire puisque le coefficient de proportionnalité devrait être à la fois nul et non nul. De façon plus générale tu peut choisir une valeur de y comme tu veux, calculer le rapport qui te donne la constante de colinéarité s'il y avait colinéarité et choisir z tel que le rapport soit différent de cette constante (la valeur de x étant toujours déterminée par ).