Endomorphismes

[invitee03b7ade]

Bonjour !
J'ai un petit problème sur un exo de maths, si quelqu'un pouvait m'aider ce serait sympa!!

On a E un R-espace vectoriel.
On note H_k l'ensemble des endomorphismes u tq u²=ku avec k réel.
1)Déterminer les éléments de H_k qui sont aussi des homothéties vectorielles de E.

Voilà je sais pas trop comment faire !

J'étais partie sur ça :

Si u est une homothétie vectorielle appartenant à Hk alors :
u²=k*u
et u_(x)=h*x

avec h et k réels

donc k*u_(x)=u_(h*x)=h*u_(x) car u linéaire
donc k=h ???? [ce serait alors les u tels que u=k²*id_E]

ou bien u²_(x)=k*h*x ....

Voilà, merci d'avance à tous ceux qui prendront le temps de m'aider!
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[invitebfd92313]

salut, utilise le lemme des noyaux.

[invitee03b7ade]

Merci de me répondre.
Mais euh...est-ce que tu pourrais détailler ce que c'est que le lemme des noyaux stp?
Je ne me souviens pas l'avoir vu ou peut-être sous un autre nom...

[invitebfd92313]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_des_noyaux
si tu ne l'as pas vu, essaye de trouver des conditions nécessaires pour qu'un endomorphisme u vérifiant u²=ku soit aussi une homothétie

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee03b7ade]

Salut,
j'ai regardé ton lien et je ne l'ai pas encore vu !
Sinon pour les

conditions nécessaires pour qu'un endomorphisme u vérifiant u²=ku soit aussi une homothétie

c'est pas ce que j'avais commencé à faire ?

Il faut que pour tout x appartenant à E
u_(x)=h*x

avec h réel

or on a u²=k*u

donc k*u_(x)=u_(h*x)=h*u_(x) car u linéaire
donc k=h ???? [ce serait alors les u tels que u=k²*id_E]

[invite00970985]

Salut,

Tu as bien u(x)=hx, avec h un réél fixé.

Que peux tu dire de u(u(x)) ? (qui est égal à u²(x))

[invitee03b7ade]

Salut,

Ben si je reprend le fait que u(x)=hx
j'obtiens u²(x)=u(hx)=h*u(x)

mais après je bloque ...

[invite00970985]

Salut,

Ben si je reprend le fait que u(x)=hx
j'obtiens u²(x)=u(hx)=h*u(x)

mais après je bloque ...

Oui mais continue : u²(x)=u(hx)=h*u(x)=h*h*x = h²*x

[invitee03b7ade]

Merci beaucoup pour tes réponses !

Donc ce serait les u qui vérifient u²(x)=h²*x
Ai-je besoin de faire une réciproque ? (je pense que oui...)

[invitee03b7ade]

J'ai essayé quelque chose,
si quelqu'un pouvait me dire si c'est juste ou pas...

Si u appartient à H_k et est une homothétie vectorielle alors, pour tout x appartenant à E:

u²_(x)=k*u_(x)
et u_(x)=h*x

soit : u²_(x)=k*u_(x)
et u²_(x)=u(u_(x))=u_(h*x)=h*u_(x)

Ainsi h*u_(x)=k*u_(x)
or u différent de 0

donc k=h

donc u doit vérifier u²_(x)=k*u_(x)
et u_(x)=k*x

soit u_(x)=k*x
pour tout x appartenant à E

Réciproquement, si, pour tout x appartenant à E, u_(x)=k*x avec k réel, alors :

• u est une homothétie vectorielle

• u²_(x)=u(u_(x))=u_(k*x)=k*u_(x)
  donc u appartient à H_k

Voil merci d'avance