Endomorphismes
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Endomorphismes



  1. #1
    invitee03b7ade

    Endomorphismes


    ------

    Bonjour !
    J'ai un petit problème sur un exo de maths, si quelqu'un pouvait m'aider ce serait sympa!!


    On a E un R-espace vectoriel.
    On note Hk l'ensemble des endomorphismes u tq u²=ku avec k réel.
    1)Déterminer les éléments de Hk qui sont aussi des homothéties vectorielles de E.

    Voilà je sais pas trop comment faire !

    J'étais partie sur ça :

    Si u est une homothétie vectorielle appartenant à Hk alors :
    u²=k*u
    et u(x)=h*x

    avec h et k réels

    donc k*u(x)=u(h*x)=h*u(x) car u linéaire
    donc k=h ???? [ce serait alors les u tels que u=k²*idE]

    ou bien u²(x)=k*h*x ....

    Voilà, merci d'avance à tous ceux qui prendront le temps de m'aider!

    -----

  2. #2
    invitebfd92313

    Re : Endomorphismes

    salut, utilise le lemme des noyaux.

  3. #3
    invitee03b7ade

    Re : Endomorphismes

    Merci de me répondre.
    Mais euh...est-ce que tu pourrais détailler ce que c'est que le lemme des noyaux stp?
    Je ne me souviens pas l'avoir vu ou peut-être sous un autre nom...

  4. #4
    invitebfd92313

    Re : Endomorphismes

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_des_noyaux
    si tu ne l'as pas vu, essaye de trouver des conditions nécessaires pour qu'un endomorphisme u vérifiant u²=ku soit aussi une homothétie

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitee03b7ade

    Re : Endomorphismes

    Salut,
    j'ai regardé ton lien et je ne l'ai pas encore vu !
    Sinon pour les
    conditions nécessaires pour qu'un endomorphisme u vérifiant u²=ku soit aussi une homothétie
    c'est pas ce que j'avais commencé à faire ?

    Il faut que pour tout x appartenant à E
    u(x)=h*x

    avec h réel

    or on a u²=k*u

    donc k*u(x)=u(h*x)=h*u(x) car u linéaire
    donc k=h ???? [ce serait alors les u tels que u=k²*idE]

  7. #6
    invite00970985

    Re : Endomorphismes

    Salut,

    Tu as bien u(x)=hx, avec h un réél fixé.

    Que peux tu dire de u(u(x)) ? (qui est égal à u²(x))

  8. #7
    invitee03b7ade

    Re : Endomorphismes

    Salut,

    Ben si je reprend le fait que u(x)=hx
    j'obtiens u²(x)=u(hx)=h*u(x)

    mais après je bloque ...

  9. #8
    invite00970985

    Re : Endomorphismes

    Citation Envoyé par rebecca77 Voir le message
    Salut,

    Ben si je reprend le fait que u(x)=hx
    j'obtiens u²(x)=u(hx)=h*u(x)

    mais après je bloque ...
    Oui mais continue : u²(x)=u(hx)=h*u(x)=h*h*x = h²*x

  10. #9
    invitee03b7ade

    Re : Endomorphismes

    Merci beaucoup pour tes réponses !

    Donc ce serait les u qui vérifient u²(x)=h²*x
    Ai-je besoin de faire une réciproque ? (je pense que oui...)

  11. #10
    invitee03b7ade

    Re : Endomorphismes

    J'ai essayé quelque chose,
    si quelqu'un pouvait me dire si c'est juste ou pas...

    Si u appartient à Hk et est une homothétie vectorielle alors, pour tout x appartenant à E:

    (x)=k*u(x)
    et u(x)=h*x

    soit : u²(x)=k*u(x)
    et u²(x)=u(u(x))=u(h*x)=h*u(x)

    Ainsi h*u(x)=k*u(x)
    or u différent de 0

    donc k=h

    donc u doit vérifier u²(x)=k*u(x)
    et u(x)=k*x

    soit u(x)=k*x
    pour tout x appartenant à E

    Réciproquement, si, pour tout x appartenant à E, u(x)=k*x avec k réel, alors :
    • u est une homothétie vectorielle
    • (x)=u(u(x))=u(k*x)=k*u(x)
      donc u appartient à Hk

    Voil merci d'avance

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