Endomorphismes diagonalisables

[invite95ebb024]

Bonjour.

Les oraux se rapprochant je planche sur mes (nombreux) poly d'exercices qui n'ont bien souvent pas de correction associée.
J'ai retrouvé plusieurs fois le même type d'exercice mais je ne vois pas trop comment aboutir ... si certains d'entre vous ont quelques minutes à me consacrer pour m'expliquer je leur en serai reconnaissant =)

Voici le problème (il se trouve sous diverses variantes avec des coefficients explicités ou laissé sous forme "lambda" "delta" etc.)


Soit A et B deux matrice de Mn(R)
Soit C une matrice de Mn(R) vérifant

C = A + B
C² = 2A + 3B
C**3 = 5A + 6B

Montrer que A et B sont diagonalisables.


J'ai établit la relation C**3 - C² -3C =0 ce qui me donne déjà 0 comme valeur propre possible de C ainsi que deux autres racines assez moches (que j'ai laissé sous forme alpha et beta car leur valeur explicite ne doit pas être d'une grande aide).

Mais je ne vois pas ensuite ce que je peux en faire vis-à-vis de A et B.
Déjà déterminer précisément les valeurs propres de C semble assez compromis (aucune information sur C en particulier), et quand bien même je suppose que les racines du polynôme annulateur seraient les valeurs propres de C je ne vois pas comment relier tout celà à A et B :/


Voilà mon souci ^^

Si quelqu'un à un petit coup de pouce à me donner je le remercie par avance.

Bonne journée à tous

Cordialement

Aero
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[invitea6f35777]

Salut,

Tu est d'accord que C est diagonalisable, il te suffit de résoudre pour exprimer A en fonction de C,C^2 et ou C^3 et de même pour B, tu pourra en déduire que A et B sont diagonalisables.

[invite95ebb024]

Salut,

Tu est d'accord que C est diagonalisable, il te suffit de résoudre pour exprimer A en fonction de C,C^2 et ou C^3 et de même pour B, tu pourra en déduire que A et B sont diagonalisables.

Et bien je n'en suis pas convaincu
Pour que C soit diagonalisable il faudrait que la dimension des sous-espaces propres associés aux valeurs propres soit égale à n.

Le hic c'est que je n'ai pas les valeurs propres de C (juste les racines du polynôme annulateur donc je ne sais pas si elles sont bien valeurs propres de C) et je ne vois pas comment je pourrai connaitre la dimension de leur sous-espace propres :/

Enfin apparemment je dois avoir une idée reçue fausse mais je ne vois pas mon erreur de raisonnement (et si tu pouvais me corriger pour éviter des gaffes aux oraux ça serait génial )


Edit: peut être que le fait d'avoir un polynome annulateur scindé à racines simples permet de dire qu'au moins le polynôme caractéristique de C est scindé [potentiellement à racine double ou triple], mais il me reste toujours le problème de la dimension des s-e propres en rapport avec leur multiplicité :/

[invitec317278e]

Edit: peut être que le fait d'avoir un polynome annulateur scindé à racines simples permet de dire qu'au moins le polynôme caractéristique de C est scindé [potentiellement à racine double ou triple], mais il me reste toujours le problème de la dimension des s-e propres en rapport avec leur multiplicité :/

Il suffit qu'un polynôme annulateur de l'endomorphisme soit scindé à racines simples pour que l'endomorphisme soit diagonalisable...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite95ebb024]

Il suffit qu'un polynôme annulateur de l'endomorphisme soit scindé à racines simples pour que l'endomorphisme soit diagonalisable...

Merci =)

J'avais occulté cette propriété (bien utile soit dit en passant)

Merci à vous deux pour votre aide