matrices normales et diagonalisables

[invitee75a2d43]

Bonjour,

Je m´attaque à un cours d´algèbre de troisième année, et il y a un truc qui m´échappe.
J´ai du mal à distiguer entre les définitions d´une matrice normale et d´une matrice diagonalisable. J´ai les questions suivantes:

- Peut-on dire que si une matrice est normale, alors elle est diagonalisable?
- La différence est-elle qu´une matrice normale quand elle est diagonalisable et que la matrice de passage est orthogonale?

Si c´est ça, alors j´ai compris. Dans mon cours, cela n´est pas très clair.

Merci d´avance

Christophe
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[invite0387e752]

Bonjour,

Je m´attaque à un cours d´algèbre de troisième année, et il y a un truc qui m´échappe.
J´ai du mal à distiguer entre les définitions d´une matrice normale et d´une matrice diagonalisable. J´ai les questions suivantes:

- Peut-on dire que si une matrice est normale, alors elle est diagonalisable?
- La différence est-elle qu´une matrice normale quand elle est diagonalisable et que la matrice de passage est orthogonale?

Si c´est ça, alors j´ai compris. Dans mon cours, cela n´est pas très clair.

Merci d´avance

Christophe

une proposition très forte dit qu'une matrice A est normale SI ET SEULEMENT SI il existe une matrice unitaire P tq A = PDP^-1.

[invite57a1e779]

C'est un peu subtil :

La matrice est diagonalisable : il existe inversible et diagonales telles que .

La matrice est normale : elle commute avec son adjointe.

En espace euclidien : une matrice normale est diagonalisable si et seulement si elle est autoadjointe, et il existe une matrice de passage orthogonale.

En espace hermitien : toute matrice normale est diagonalisable, et il existe une matrice de passage unitaire.

[invite1237a629]

Plop,

Et qu'est-ce qu'une adjointe ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Plop,

Et qu'est-ce qu'une adjointe ?

L'adjointe est
– la transposée dans le cas euclidien ;
– la transposée de la conjuguée dans le cas hermitien.