Bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercice:
On considère la série suivante, dans laquelle α désigne un nombre réel donné et t une variable réelle :
∑_(n=0)^∞▒α^n e^int
1. Pour quelles valeurs de α cette série converge-t-elle quel que soit t ?
On suppose maintenant et jusqu'à la fin de l'exercice que α est une de ces valeurs.
2. Calculer s(t), la somme de la série
∑_(n=0)^∞▒α^n sinnt
On rappelle les formules dEuler :
cosu=(e^iu+e^(-iu))/2 sinu=(e^iu-e^(-iu))/2i
3. La fonction s(t) est-elle continue ? Pouvait-on le prévoir sans la calculer?
4. Ecrire les coefficients de Fourier réels, an et bn de s(t) sous forme d'intégrales.
5. Sans nouveau calcul dire à quoi sont égales ces intégrales et quelle est la série de Fourier de s(t).
6. Vérifier ce que donne le théorème de Dirichlet lorsque α=1/2 et t=π/4.
Merci de d'avance de votre aide.
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