Ces equadif qui m'ennuient...

[inviteefa31e48]

Bonjour,

j'ai un sérieux problème pour résoudre des équations différentielles simples.

Au premier ordre, je trouve la solution générale de l'équation homogène et je fais varier la constante d'intégration. Comme un bœuf, mais ça marche.

Au deuxième ordre j'ai beaucoup de difficultés.

La plupart du temps, je vais chercher deux solutions de l'équation homogène via le polynôme caractéristique auxquelles je vais sommer toutes les solutions particulières de l'équation dif.
Et c'est là que je sèche 90% du temps.

En exemple.
y'' - 8y' + 16y = exp(4x) + cos(x)

j'ai mes solutions générales de l'équation homogène.
je vais chercher les solutions particulières de:
(1):w'' -8w' + 16w = exp(4x)
(2):f'' -8f' + 16f = cos(x)

pour (1) la solution doit être de la forme:
w(x) = a*exp(4x) je dérive deux fois, je réinjecte pour identifier a.
et bien évidement les coefficients de l'équation font que je tombe sur
0=exp(4x). Lors de l'identification.

Pareil pour (2).

Ces équations à coefficients constants qui "annulent" l'identification semble être les préférées de mon prof.

Ma méthode est elle mauvaise? Quelle est la votre?


Merci à vous !
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[invite9617f995]

Bonjour,

Ton problème vient du fait que 4 est racine (double) du polynôme caractéristique de ton équa diff, donc en effet si tu essayes une solution de la forme a*exp(4x), tout va se simplifier, et tu vas tomber à une contradiction (tout simplement car ce genre de fonction n'est pas solution).

Dans ce genre de cas, il faut regarder l'ordre de la racine, je m'explique : ici, notre polynôme caractéristique c'est x²-8x+16=(x-4)² donc ici 4 est racine double (d'ordre 2) du système. Donc, le second membre étant de la forme exp(4x), on va chercher la solution sous la forme (ax²+bx+c)exp(4x).

En règle générale, si tu as r solution d'ordre n du polynôme caractéristique et que le second membre est P(x)exp(rx) avec P un polynôme de degré d, tu cherches une solution de la forme Q(x)exp(rx) avec Q de degré d+n.

Silk

[inviteefa31e48]

Wow merci beaucoup ça marche beaucoup mieux!

Pour résumer, dans le cas où les identifications sont absurdes, je vais chercher une solution non plus de la forme aexp(wt) mais P(x)exp(wt).

Deux choses:
Cela marche t il dans le cas de fonctions trigo ?
Qu'entends tu pas "ordre de la racine" ?

Merci beaucoup !

[invite9617f995]

Une fonction trigo c'est une partie réelle ou imaginaire d'une exponentielle complexe donc oui ça marche : si tu as P(x)cos/sin(rx), le mieux est encore de chercher une solution sous la forme Q(x)cos(rx)+R(x)sin(rx), avec le degré de Q et R calculé de la même façon que pour l'exponentielle.

Quand à l'ordre d'une racine, c'est assez simple et y a plusieurs moyens de le voir : 4 est racine simple (ordre 1) du polynôme (x-4), racine double (ordre 2) du polynôme (x-4)² et d'ordre n du polynôme (x-4)ⁿ. En gros, si tu divise le polynôme par (X-4)^n-1 et que 4 est encore racine du polynôme obtenu, c'est que 4 est racine d'ordre au moins n (après faut continuer à diviser par (X-4) pour trouver l'ordre exacte).

J'espère être clair ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteefa31e48]

Très clair !

Merci beaucoup, je viens d'enchainer 10 exos de ce type, je vais enfin pouvoir passer à autre chose !