résolution numérique d'une équadif

[invite3e1953b5]

Bonjour à tous !

Une petite question d'un physicien (enfin apprenti) qui essaye de faire une simulation numérique... Ceci dit la question est plus mathématique que informatique.

Alors le but est de résoudre l'équation suivante :



avec les conditions aux limites :

et
étant nulle en dehors de l'intervalle

J'explique vite fait ma méthode de résolution numérique, ce n'est pas indispensable pour la compréhension de mon problème, mais on sait jamais au cas où ça puisse aider !
Donc c'est une méthode de tir, c'est-à-dire que je cherche une solution avec des conditions initiales et , t étant arbitraire. Le but est donc de trouver des solutions avec une méthode de type Runge-Kutta 4, en faisant varier t jusqu'à ce que ma solution trouvée me permette de retomber sur les conditions que je connais à l'autre extrémité de l'intervalle.

Mon problème est donc de savoir quand est-ce que j'ai bien la bonne courbe, et que ma condition en est vérifiée. Si j'interprète graphiquement cette condition, il me semble qu'elle est équivalent à dire que la tangente au point d'abscisse doit passer par l'origine. Mais là j'ai l'impression que quelque soit la courbe d'essai que je trace, celle ci va coller puisque la condition est à priori toujours réalisée...

Je joins la courbe que je dois obtenir théoriquement, c'est la courbe supérieure, dont la tangente en passe par l'origine.

Merci beaucoup !!
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[invite6b1e2c2e]

Tu veux quand même .
Ca devrait suffire pour te donner la solution que tu cherches. Ta condition sur la dérivée, en tout cas telle que tu l'as écrite, ressemble à une condition de compatibilité au point x_1.
Enfin, elle te donne quand même que ta fonction est nulle à dérivée nulle au point x_1.
Ca me semble très bizarre, je te l'avoue, mais si tu demandes une fonction continue, ça ne devrait pas te laisser beaucoup de solution possible.

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rvz

[invite3e1953b5]

Et bien non justement je ne cherche pas une fonction continue... C'est vrai j'aurai dû le préciser... Enfin je ne sais pas ce que je cherche à vrai dire, mais je n'ai pas la condition de continuité en x1, et la courbe obtenur doit être celle de la pièce jointe, donc à priori pas continue... d'où mon problème...

[invite6b1e2c2e]

Ah oui, d'accord, je me disais bien que c'était bizarre.
Tu es sûr que toutes les courbes que tu obtiens ont leur tangente en x_1 qui passe par l'origine ?
Je ne comprends pas pourquoi tu dis que la condition est à priori toujours réalisé ?!

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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3e1953b5]

Tu es sûr que toutes les courbes que tu obtiens ont leur tangente en x_1 qui passe par l'origine ?
Je ne comprends pas pourquoi tu dis que la condition est à priori toujours réalisé ?!

Alors je ne suis sur de rien... En fait là je tatonne pour pouvoir ensuite coder mon algo... Enfin j'ai l'avantage de connaitre le résultat (cf courbe) !

Alors pour moi la condition en qui est signifie qu'en on a une tangente qui passe par l'origine (puisque la condition, c'est l'équation d'une droite qui passe par l'origine il me semble...) jusque là j'ai bon ?

Ensuite, j'ai effectivement l'impression que la condition va toujours être réalisée. Je dis bien à priori puisque je n'ai absolument rien codé pour l'instant, je réfléchis juste. Ben je me dis qu'en "tirant" une solution en prenant n'importe quelle pente à l'origine, la courbe va avoir plus ou moins la même tête que la solution qui m'intéresse (puisque sa tête est imposée par l'equadif). Normalement c'est facile de savoir si la courbe est la bonne ou non, on regarde juste si elle passe par le point intéressant en . Mais ici, vu que les courbes auront toutes la même tête, elles vont toutes présenter un minimum (comme la fonction en pièce jointe), et donc vraisemblablement vont toutes avoir une tangente quelque part qui passe par l'origine...
Je sais pas si c'était clair, mais mon point je sais pas où il est, je dois également le trouver dans la résolution....

[invite6b1e2c2e]

J'ai peur que ton problème ne soit pas totalement déterminé. Le fait que x_1 te soit inconnue, le fait que ta fonction ne soit pas continue en x_1, ça m'inspire peu confiance tout ça. Mais je vais essayer d'y réfléchir encore...

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rvz

[invite3e1953b5]

Ben je t'accorde que ca me parait bizarre aussi... Ceci dit c'est un problème qui est posé et résolu dans le Landau de mécanique quantique, donc à priori c'est bel et bien résolvable. Mystère...