resolution numérique equa diff d'ordre 2

[Heimdall]

salut,

J'essaie de simuler l'intéraction gravitationnelle entre N corps.

Supposons un systeme S de N corps M_i de masse m_i en interaction gravitationnelle. Soit M_j un corps fixé dans ce système.




Je dois résoudre pour trouver le mouvement de M_j, l'équation différentielle du second ordre suivante :




je connais l'algorithme de Runge-Kutta d'ordre 4 pour résoudre les équations différentielles d'ordre 1, et je me demandais si je pouvais l'utiliser pour résoudre celle-ci d'ordre 2 ?

J'ai pensé a scinder l'équation en un système de deux équations du premier ordre que je ferai passer l'une après l'autre dans runge kutta... est-ce une méthode qui marcherai ?

le système serait :




merci
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[invite8c514936]

Oui, dédoubler le système d'équations en équations du premier ordre est ce qui se fait en général. Je te mets en garde contre un obstacle que tu vas rencontrer, le système que tu dois résoudre est fortement sensible aux erreurs numériques, à cause des interactions entre les particules qui s'approchent trop les unes des autres (ce qui donne des forces énormes et des dérivées énormes aussi).

Dans le cas d'un système à deux corps, il y a une solution presque miracle qui consiste à faire un changement de variable astucieux dans les équations de départ (coordonnées de Levi-Civita), ça se généralise aux systèmes à N corps mais il faut bosser un peu...

Je l'ai fait pour un système très simple : un corps attiré par deux autres fixes, et tu arrives comme ça à une précision relative de 10^-10 sans trop de difficulté, là où le système de départ part dans le décor assez rapidement (erreurs relatives de l'ordre de l'unité dès qu'une interaction proche a lieu...).

[Heimdall]

merci deep_turtle pour ta réponse rapide, pour ton truc avec Levi-Civita j'ai tout de même l'impression que c'est un brin compliqué. Je vais essayer sans, et comme ça ça m'apprendra des trucs sur les erreurs numériques et tout, faut voir ça du bon côté.

[invite8c514936]

Yep tu as raison. Tu pourras toujours revenir si ça va pas comme tu veux !!

[A voir en vidéo sur Futura]