résolution equa. diff.

[invitea4cc3a85]

Salut, j'ai une étude d'équa diff et j'aurai besoin d'un coup de main pour 2questions. Voici l'énoncé:

Une étude sur le comportement d'organisme vivants placés dans une enceinte close, a conduit à stipuler que l'évolution de la population suit l'équation différentielle suivante :

(1) N'(t)=2N(t) - 0,0045(N(t))²
où t est le temps exprimé en heures (t >= 0), N(t) représente le nbs d'individus présents dans l'enceinte à l'instant t et N(0)=1 000 le nombre initial d'individus.
But de l'exercice : déterminer la fonction N.

1. On se propose de remplacer (1) par une équation différentielle plus simple puis de la résoudre.
a. On suppose que la fonction N ne s'annule pas sur [0;+inf[ et on pose, pour tout t>=0,
y(t)=1/N(t)

b. Montrer que N est solution de (1) si et seulement si y est solution de
(2) y'(t)= -2y(t) + 0,0045
c. Donner la forme générale des solutions de (2) (ça je l'ai fait), en déduire la forme générale des solutions de (1).
(la solution de (1) c'est la même que (2), non ??).

si quelqu'un pouvait m'apporter son aide, se serai vraiment cool.
merci
-----

[invite52c52005]

Bonsoir,

est-ce que tu as fait la 1b ? Si non, qu'est ce qui te bloque ?

[invitea4cc3a85]

non justement je n'arrive pas à faire la 1b). Je ne vois pas comment m'y prendre. J'essai de remplacer par y(t)=1/N(t) mais je n'arrive à rien.

[invite52c52005]

En prenant y(t) = 1/N(t), que vaut y'(t) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea4cc3a85]

je trouve :

1/N'(t) = -2/N(t) + 0,0045N(t)

[invite52c52005]

je trouve :

1/N'(t) = -2/N(t) + 0,0045N(t)

Donne le détail de ton calcul parce que je ne vois pas comment tu arrives à ça.

Et pour commencer y'(t) n'est pas égal à 1/N'(t).

Reprends tes formules de dérivation et tu verras que (1/U)' = -U'/U².

[invitea4cc3a85]

j'ai fait ca :
y'(t)=-2y(t)+0,0045
Y(t)=1/N(t)

y'(t)=-N'(t)/(N(t))²=-2N(t)-0,0045(N(t))²/(N(t))²=
(N(t))(-2-0,0045(N(t))/(N(t))²=-2-0,0045(N(t))/N(t)=
-2/N(t)-0,0045=-2/(1/y(t)-0,0045=
-2y(t)-0,0045

autrement dis je reviens à mon point de départ...

[invite52c52005]

Justement, après le remplacement de y(t) et y'(t) par les expressions dépendant de N(t) et N'(t), essaie de te ramener à l'équation différentielle que vérifie N(t).
Ca se fait en 2-3 étapes.

Pourquoi écris tu-ça :

y'(t)=-N'(t)/(N(t))²=-2N(t)-0,0045(N(t))²/(N(t))² ?

Pourquoi quand tu remplaces y(t), tu obtiens -2N(t) et pas -2/N(t) ? Tu dois obtenir en final, je suis d'accord, mais à cette étape là, on y est pas encore, alors remplace bien comme il faut dans la 1ère étape.

De plus, pourquoi rajoute tu (N(t))²/(N(t))² après le 0,0045 ? Ca complique l'écriture pour rien. C'est peut être ça qui fait que tu n'y vois plus clair après.

[invitea4cc3a85]

tu peux pas me donner les étapes?
parce que je vois vraiment pas.
me suis gourré pour -2/N(t)

[invitea4cc3a85]

j'obtiens ca :
-N'(t)/(N(t))² = -2/N(t) - 0,0045
-N'(t)= (-2/N(t) - 0,0045)(N(t))²
-N'(t)= -2N(t) - (0,0045N(t))²

seul truc génant les -
apparement y a un problème je sais pas où??!
que dois je faire une fois ceci obtenu??

[invite52c52005]

j'obtiens ca :
-N'(t)/(N(t))² = -2/N(t) - 0,0045
-N'(t)= (-2/N(t) - 0,0045)(N(t))²
-N'(t)= -2N(t) - (0,0045N(t))²

C'est bien tu t'approches. Les 2 premières lignes sont bonnes. Par contre, en développant dans le passage à la 3ème ligne, le carré n'est pas autour de 0,0045N(t) mais seulement du N(t) !

Pour les signes négatifs, ce n'est pas un problème. Si tu multiplies par -1 chaque membre de l'égalité, l'égalité reste vraie. Ce qui revient à faire passer le N'(t) à droite du signe égale (tu changes de signe) et idem pour l'autre membre. Et alors tu retombes bien sur la 1ère équation différentielle.

[invitea4cc3a85]

oki donc ça c'est bon
que dois je faire ensuite? est ce que celà est suffisant pour justifier que N est sol de (1) ssi y est sol de (2)?

[invitea4cc3a85]

encore un truc avec le - de toute à l'heure
si je multiplie la ligne par -1
je ne pourrais pas avoir :
y'(t) = - 2y(t) + 0,0045

[invite52c52005]

Tu devais montrer que N(t) solution de (1) y(t) solution de (2).

Tu as montré que si y(t) (en posant y(t) = 1/N(t) )vérifiait (2) alors N(t) vérifiait (1). Tu as montré un sens de l'équivalence. Mais comme tes calculs sont réversibles, tu as aussi montré que : si N(t) vérifie (1) alors y(t) = 1/N(t) vérifie (2).
Le passage entre chaque étape de ton calcul peut se faire par équivalence, ce qui te permet de conclure sur l'équivalence demandée.

Quand au signe - qui te gêne.
Je ne vois pas pourquoi tu l'exprimes avec y(t), puisque ce qu'on cherchait à montrer c'était que N(t) vérifiait (1) donc il faut considérer l'équation avec N(t). Et c'est vrai qu'en multipliant par -1, il reste un problème de signe devant le 0,0045 par rapport à l'équation (1).
Je n'avais pas fait attention tout à l'heure, mais c'est parce que tu as fait une erreur de signe quand tu as remplacé dans (2) y(t) par 1/N(t). En effet dans (2), c'est un signe + devant le 0,0045. Et après le remplacement, tu l'as transformé en -. Il n'y a aucune raison pour que tu le fasses. Voilà d'où vient ton erreur de signe. Reprends tes calculs en faisant bien attention.

[invitea4cc3a85]

d'accord donc pour ceci c'est bon.
Maintenant je coince pour la b :

b. Montrer que N est solution de (1) si et seulement si y est solution de
(2) y'(t)= -2y(t) + 0,0045
c. Donner la forme générale des solutions de (2) (ça je l'ai fait), en déduire la forme générale des solutions de (1).
(la solution de (1) c'est la même que (2), non ??).

voici l'équa diff que j'ai pour (1)
par contre en déduire la (2) comment?


ensuite voila la suite du problème:
Connaissant les conditions initiales est:
N(t)=1/0,00225-0,00125e(-2t)
On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
a. Etudier les variations de N sur [0;+inf[

Voici ce que j'obtiens vite fait (tableau de var. + dérivée)

N'(t)= -40000 x e^(2t)/(-5+9e^(2t)²

t.... | 0 .............................. .. +inf
-----------------------------------
f'(t) |................... -
-----------------------------------
f(t) | 1000
..... | ........... \ (décroi.)
..... | ..................... 444,4444

*les points représente des espaces*

b. Montrer que (C) admet une asymptote (d) au voisinage de +inf

normalement il faut faire lim de f(x)-y
par contre je vois pas quoi prendre comme y

c. Donner une équation de (T) tangente à la courbe au point d'abscisse nulle.

[invite52c52005]

Avant d'aller plus loin, pour qu'on soit bien d'accord, que trouves tu pour la forme générale de y(t) qui vérifie (2) ?

[invitea4cc3a85]

equation diff de (1) :
f(t)=999,9955e^(-2t) + 0,00225

equation diff de (2) je n'arrive pas à la démontrer.
d'après la suite du problème cela devrait être :
N(t)= 0,00225 - 0,00125e(-2t)

[invite52c52005]

Je comprends pas ce que tu fais ou ce que tu veux faire. Alors on va reprendre.

Dans la question 1c), on te dit "Donner la forme générale des solutions de (2)" et tu dis que tu l'as fait. Alors qu'est ce que tu trouves pour y(t) (qui vérifie (2) )? C'est ça que je te demande.
Il faut qu'on soit d'accord parce que tout s'appuie sur ça.

[invitea4cc3a85]

la forme générale des solutions de (2) est: f(t)=999,9955e^(-2t) + 0,00225

[invite52c52005]

Je suis d'accord avec la forme générale sauf le coefficient devant 999,9955. D'où il sort ?
Tu as vérifié que cette fonction vérifiait bien l'équation différentielle (2) ?

[invitea4cc3a85]

il sort de : (N(0)=1000)
1000=Ce^-(2t)-0,0045
1000=Ce^-(2x0)-0,0045
1000=C-0,0045
C=999,9955 :S

[invite52c52005]

C'est là que je ne suis plus d'accord.

y(t) (ne l'appelle pas f(t) ) vérifie (2) donc la forme générale est :



Or N(0) = 1000 donc y(0) = 1/N(0) = 1/1000 =

d'où

on en conclut

On a donc

Tu es d'accord ?

[invitea4cc3a85]

oui ca me semble plus correcte, vu la suite de l'exo.
Donner la forme générale des solutions de (2) (ca c'est bon)
et il faut en déduire la forme générale des solutions de (1)
c'est la même chose que précédemment non?

[invite52c52005]

Pour ce qui précède, je pense qu'on ne trouvait pas la même chose car tu mélanges N(t) et y(t) et leurs équations différentielles respectives. Alors attention.

y(t) telle qu'on l'a exprimée vérifie (2).
Or on a montré précédemment que si y(t) = 1/N(t) vérifie (2), alors N(t) vérifie (1).
Donc, comme maintenant on a une expression pour y(t), tu peux en déduire une expression pour N(t).
Et d'après ce qu'on a montré, cette expression de N(t) vérifie (1). Pour être sûr que tu ne t'es pas trompé dans ton calcul quand tu auras trouvé une expression de N(t), teste bien qu'elle vérifie (1).

[invitea4cc3a85]

oki je regarde ca. Peux tu me dire pour le reste de l'exercice dont j'ai parlé plus haut si c'est juste et ce qu'il faut que je fasser pour la 2b) stp?

[invite52c52005]

Pour la 2a), il faut que tu trouves la bonne expression de N(t) d'abord.

Pour la 2b), pareil, une fois que tu auras la bonne expression de N(t), en étudiant sa limite en , tu pourras trouver l'asymptote.

Il faut pas que tu étudies lim(f(x) - y), puisque, comme tu le dis, tu n'as encore aucune idée de l'équation de l'asymptote. Tu utilises lim(f(x) - y) quand on te demande de montrer qu'une droite, dont on te donne l'équation, est une asymptote à la courbe. Il faut alors que cette limite tende vers 0. Mais ici on ne te donne pas l'équation.

Donc, pour résoudre toutes ces questions (ainsi que pour la 2c) d'ailleurs), il faut vraiment que tu exprimes N(t).

[invitea4cc3a85]

comment dois l'exprimer??
y a bien ceci :

N(t)= 1 / (0,00225 - 0,00125e^(-2t))

c'est suffisant?

[invite52c52005]

Je suis d'accord avec ton N(t) et je pense qu'il faut continuer avec cette expression, même si ce n'est pas très pratique. Tant pis, il faut transpirer un peu ...

[invitea4cc3a85]

c'est ce que j'ai fait.
Mais pour la question 2b et 2c je vois pas comment partir.
Pourriez vous m'aider? Je commence à prendre du soucis car c'est pour demain et il me reste 3questions.

[invite52c52005]

Est ce que tu as étudié les variations de la fonction N(t) (question 2a) ? Qu'as tu trouvé ? Quelle est le limite de N(t) en ? Quelle est l'expression de la dérivée de N(t) ?