Théorème machiavélique de I.M.Kidding

[invite234d9cdb]

Bonsoir à tous,
Ce problème m'a été proposé il y a moins de deux heures :

On prend un cercle d'équation x²+y²=4
On prend un point p du cercle, de coordonnée p(x,y)
Notons que comme p appartient au cercle, on peut exprimer y en fonction de x et on a donc p(x, racine carrée(4-x²))
On prend maintenant un point a(1,0) qui n'appartient pas au cercle !
La distance entre ces deux points est racine carrée((x-1)²+4-x²)
Ce qui fait racine carrée(5-2x)

Cette fonction nous donne donc, en fonction de la coordonnée en x d'un point du cercle, la distance qui le sépare du point (1,0).

Comment donc connaitre la coordonnée x du point du cercle le plus proche de (1,0) ?
On dérive ce qui fait -1/racine carrée(5-2x).


Ce qui signifie que pour tout x choisit, la dérivée est négative => pas d'extremum donc pas de distance minimale => conclusion il n'y a pas de points du cercle plus proche ou moins proche de (1,0).


Bizarre non ?
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[erik]

Notons que comme p appartient au cercle, on peut exprimer y en fonction de x et on a donc p(x, racine carrée(4-x&#178)

Pourquoi p à une ordonée positive, il n'y' a qu'un demi cercle ici.

La distance entre ces deux points est racine carrée((x-1)²+4-x&#178

Ce ne serait pas racine carrée((x-1)²+|4-x²|) ?

[martini_bird]

Salut,

ta fonction admet bel et bien un minimum sur le bon intervalle de définition, à savoir [-2, 2]. Ce n'est pas parce qu'une fonction est strictement monotone qu'elle n'admet pas un extremum.

Cordialement.

[invite234d9cdb]

Sur l'interval de [-2,2], la dérivée de la fonction reste négative ? Ou est l'extremum ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Sur [0, +oo] la fonction x→x est constante positive, pourtant le point x=0 me semble être un minimum, non...

[invite234d9cdb]

Je ne suis pas sûr de bien comprendre
En mettant 0 dans la fonction -1/racine carrée(5-2x)
J'obtiens -1/racine(5)
Et x ne peut pas tendre vers +oo car au delà de 5/2 le contenu de la racine devient négatif ce qui n'est pas possible...
De toute façon comme tu l'as bien dit, le domaine du cercle se limite en x à [-2,2]

Avec -2, la dérivée vaut -1/racine(9)
Avec 0, la dérivée vaut -1/racine(5)
Avec 2 la dérivée vaut -1

Sur l'interval [-2,2], il n'y a pas d'extremum, ça devient juste de plus en plus négatif...

[invite234d9cdb]

Donc la tangente à la courbe racine carrée(5-2x) est de plus en plus verticale.

[martini_bird]

Attention, l'annulation de la dérivée n'est pas une condition nécessaire (ni suffisante) pour avoir un extremum: il faut être sur un point dans un intervalle ouvert.

Mais ta fonction admet le minimum y=1 en x=2 sans que la dérivée s'annule puisqu'il s'agit de la "borne" du domaine de définition.

Fais un dessin.

[invite234d9cdb]

Donc si j'ai bien compris on va dans notre cas considérer que le minimum de la fonction correspond à la plus petite valeur sur l'interval, qui ici est obtenue quand x=2 ?

[nissart7831]

Comme ta fonction est strictement décroissante sur l'intervalle [-2, 2] (car dérivée strictement négative) tu as :



donc



donc le minimum est atteint pour x = 2.

[prgasp77]

Excusez moi, je vous propose tout simplement de tracer le cercle de centre a et de rayon 1. Il est évidemment tangent au premier cercle, ce qui se démonter simplement. Et on en déduit facilement que le point du cercle x²+y²=2² le plus proche de a est l'intersection des deux cercles, ie (0;2).
N'est-ce pas suffisant ?

[invite2ec8adb6]

depuis quand f' négative=>f n'a pas d'extremum?

[invite234d9cdb]

Je ne sais pas c'est ce qu'on m'a toujours dit : si une f'(x) est tjs négative ou positive, pas d'extremum !

[Bleyblue]

Non ça c'est clairement faux.

Prend par exemple f(x) =


f'(x) =

f'(x) > 0 pour tout x > 0 pourtant ça n'empêche pas que f admette un minimum en zéro