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Equa diff compliquée (+résolution numérique sous Maple) ?



  1. #1
    RVmappeurCS

    Equa diff compliquée (+résolution numérique sous Maple) ?


    ------

    Bonjour.
    Au détour d'une petite étude liée à la cosmologie (pour le fun!!), je tombe sur cette équation différentielle (en fait c'est une application numérique d'une autre équation plus générale).
    L'équation est :



    et comme condition initiale on a :

    Si vous voulez tout savoir, a(x) c'est le facteur d'échelle de l'univers à l'instant "x".
    Le problème est maintenant de résoudre cette équation. Je suis en PSI et on n'aborde pas ce genre d'équations différentielles donc je ne sais absolument pas la forme des solutions. En fait, ce que je voudrais c'est surtout tracer la solution sous Maple mais je n'y arrive pas.
    J'ai fait un "dsolve(...,numeric)" puis un "plots[odeplot]", mais je n'obtiens qu'une partie de la courbe et j'obtiens les messages :

    Warning, cannot evaluate the solution further right of .66630579, probably a singularity
    Warning, cannot evaluate the solution further left of -.62568750, probably a singularity
    Comment parvenir à tracer la courbe entière ?
    Quand j'utilise "odeadvisor" il m'indique "_quadrature". J'ai essayé des trucs avec "symgen", mais je ne maitrise pas assez bien maple pour en conclure quelque chose.

    Si il y avait une bonne âme douée en maple qui voudrait juste faire un essai ce serait super sympa. Ou bien même si vous avez des idées de pistes.

    Merci .

    -----

  2. #2
    RVmappeurCS

    Re : Equa diff compliquée (+résolution numérique sous Maple) ?

    Je met le lien vers le fichier Maple avec le problème en détail :
    http://www.megaupload.com/fr/?d=J76QLHLP

  3. #3
    Taar

    Re : Equa diff compliquée (+résolution numérique sous Maple) ?

    Salut !

    Je ne connais pas bien ton problème, mais il y a visiblement deux difficultés :

    - lorsque a(x) devient proche de 0 (vers x=-0.6), on "sent" bien que s'il continue comme ça, il va devenir négatif, et la racine carrée ne va plus du tout être définie ! Tape
    Code:
    plot((1.3*a^2+.7*a-a^4)/a^4,a=-2..2,y=-5..5);
    Tout ce qu'on peut espérer, c'est que a reste strictement positif. Ça semble difficile, vu que a'(x) devient très grand... Singularité en vue.

    - lorsque a(x) devient proche de 1.35 (vers x=.7), tu dis que a(x) est censé se remettre à diminuer. Mais c'est impossible ! La racine est positive et a(x) aussi ; donc a'(x)>0.
    Tape
    Code:
    dfieldplot(EQ0, a(x), x=-3..3, a=-1..1.5);
    pour voir le champ de vecteurs que tu essaies d'intégrer... On ne peut que monter.
    Le champ de vecteurs est invariant horizontalement car ton système dynamique est autonome (pas de x dans l'ODE). Ça signifie que si tu as une solution, les autres s'obtiennent par translation horizontale.

    Et puis, tant qu'à faire, tape
    Code:
    solve(1.3*a^2+0.7*a-a^4,a)
    pour voir d'où sort ce 1.35.

    À mon avis, en l'état, ton ODE ne te donnera jamais mieux. Il faut peut-être changer la racine en son opposée et intégrer en mettant une condition initiale en l'infini, à toi de voir.

    Taar.

  4. #4
    Taar

    Re : Equa diff compliquée (+résolution numérique sous Maple) ?

    Je m'auto-cite :
    Citation Envoyé par Taar Voir le message
    Ça semble difficile, vu que a'(x) devient très grand...
    On voit ça en tapant
    Code:
    plot(a*sqrt((1.3*a^2+.7*a-a^4)/a^4),a=-2..2,y=-5..5);
    Citation Envoyé par Taar Voir le message
    en mettant une condition initiale en l'infini
    Non ça ne marche pas, désolé, mais regarde quand même le champ de vecteurs qu'on obtient en changeant la racine en son opposée.
    Dernière modification par Taar ; 22/03/2007 à 12h02.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    robert et ses amis

    Re : Equa diff compliquée (+résolution numérique sous Maple) ?

    euh, un doute m'assaille....

    il n'est pas difficile de voir que si a>0 alors da/dx>0, et donc que si a(x0)>0 alors a(x)>a(x0) (et da/dx>0) pour tout x>x0.

    or on prend a(0)=1, donc je vois mal comment a(x) peut s'approcher de 0 en x=0.6 puisqu'il est minoré par 1.

  7. #6
    RVmappeurCS

    Re : Equa diff compliquée (+résolution numérique sous Maple) ?

    Vos remarques m'ont été utiles. Cette équation j'avais bossé dessus au début de l'année, et je la reprenais seulement maintenant. En fait, dans l'équation originale y'a pas mal de choses au carré et j'ai pas pensé qu'en passant directement à la racine carré, les solutions n'allaient pas être les mêmes. Je vais replancher sur l'équation originale et comme j'aurai sans doute d'autres pb, je reposterai.

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