dérivée d'intégrale

[invitecc431092]

Bonjour,

Montrer que f est définie et dérivable sur R. Calculer f' et en déduire f.



Je n'ai aucune idée. J'aimerais vraiment que quelqu'un m'aide, me mettre sur la voie.
Merci à tous d'avance pour votre contribution.
-----

[invitedf667161]

Salut, il y a des théorèmes qui permettent de faire entrer la dérivation (en x ici) sous le signe intégral.

[invitecc431092]

en fait, c'est très paradoxal car dans mon cours, on ne parle que d'intégration. On parle de dérivabilité, de Lebesgue et de la formule de Leibniz à la fin du cours que je ne suis pas sensée encore avoir vue.
N'y a-t-il pas un autre moyen ?
Comment faire pour prouver qu'elle est définie sur R puisqu'on ne peut pas calculer l'intégrale ?

[invitedf667161]

Pour montrer que f est définie sur R, il faut montrer que l'intégrale considérée converge pour toute valeur de x.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Pour prouver que l'intégrale existe, il te suffit de majorer la fonction à intégrer par une fonction dont l'intégrale converge.
Ensuite tu as un théorème qui te dit si tu as le droit de dériver sous l'intégrale. Ensuite c'est facile, normalement...

[invitecc431092]

Je trouve f(x) = 0 tout à la fin !!

Je mets un peu le détail de ce que j'ai fait

pour tout t et tout x dans R
donc

et est Lebesgue intégrable :


donc f(x) est Lebesgue intégrable donc elle est définie pour tout x de R.

avec g Lebesgue intégrable (est-ce que c'est un problème que g dépende de x ?)

est dérivable et sur R
donc on peut faire passer la dérivée sous l'intégrale et on obtient :

[inviteaf1870ed]

Une petite erreur de signe : quand on intègre une fonction >0, le résultat ne peut être nul !

[invite9cf21bce]

Salut.

Je trouve f(x) = 0 tout à la fin !!

Euh, ce serait pas plutôt f'(x) ?

donc on peut faire passer la dérivée sous l'intégrale

C'est ok, mais n'oublie pas d'écrire la condition de domination de par une fonction intégrable de t.

Là je vois pas trop. En plus du problème évoqué par ericcc, il devrait rester un x au numérateur après le changement de variable, non ? (x dt=du)

[invitecc431092]

oui c'est bien f'(x) que je trouve à la fin

C'est ok, mais n'oublie pas d'écrire la condition de domination de par une fonction intégrable de t.

Quelle condition de domination ?

En effet, j'ai fait une erreur pour le changement de variable. Maintenant, je trouve










Merci beaucoup pour vos remarques et votre participation

PS I est le complexe i

[inviteaf1870ed]

A mon avis ce n'est toujours pas juste...

[invitecc431092]

je pense avoir trouvé le problème du signe. Dans ma décomposition en éléments simples, le dénominateur sous x^2 est
et en intégrant, je trouve comme primitive :

donc f'(t) = \Pi / [2(x+1)]